Question

如圖，已知反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象經過點（

1

2

，8），直線y=-x+b經過該反比例函數(shù)圖象上的點Q（4，m）
（1）求上述反比例函數(shù)和直線的函數(shù)表達式；
（2）設該直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，與反比例函數(shù)圖象的另一個交點為P，則A，B，P三點的坐標分別是A

 

、B

 

、P

 

．
（3）連接OP、OQ，求△OPQ的面積．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：（1）把點（

1

2

，8）代入反比例函數(shù)y=

k

x

，確定反比例函數(shù)的解析式為y=

4

x

；再把點Q（4，m）代入反比例函數(shù)的解析式得到Q的坐標，然后把Q的坐標代入直線y=-x+b，即可確定b的值；
（2）對于y=-x+5，令y=0，求出A點坐標；令x=0，得y=5，求出B點坐標；把反比例函數(shù)和直線的解析式聯(lián)立起來，解方程組得到P點坐標；
（3）根據S_△OPQ=S_△AOB-S_△OBP-S_△OAQ進行計算即可．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象經過點（

1

2

，8），
∴k=

1

2

×8=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

4

x

；
又∵點Q（4，m）在該反比例函數(shù)圖象上，
∴4•m=4，
解得m=1，即Q點的坐標為（4，1），
而直線y=-x+b經過點Q（4，1），
∴1=-4+b，
解得b=5，
∴直線的函數(shù)表達式為y=-x+5；

（2）∵y=-x+5，令
∴當y=0時，得x=5，即A點坐標為（5，0），
當x=0時，得y=5，即B點坐標為（0，5）．
聯(lián)立

y=-x+5 y= 4 x

，解得

x=4 y=1

或

x=1 y=4

，
∴P點坐標為（1，4）；

（3）S_△OPQ=S_△AOB-S_△OBP-S_△OAQ
=

1

2

×5×5-

1

2

×5×1-

1

2

×5×1
=

15

2

．
故答案為（5，0），（0，5），（1，4）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標滿足兩函數(shù)解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及利用面積的和差求圖形面積的方法．