Question

18．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，且AE=CD=8，∠BOC=2∠BAD，則⊙O的直徑為（　�。�

• A． 4
• B． 5
• C． 10
• D． 3

Answer 1

分析 連結(jié)OD，先根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BOD=2∠A，而∠BOC=2∠BAD，所以∠BOC=∠BOD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OB⊥CD，則根據(jù)垂徑定理得到CE=$\frac{1}{2}$CD=4，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE=AE-OA=8-R，在Rt△OCE中，根據(jù)勾股定理得R²=（8-R）²+4²，解得R=5，故可得出結(jié)論．

解答 解：連結(jié)OD，如圖，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∴∠BOD=∠A+∠ODA=2∠A，
∵∠BOC=2∠BAD，
∴∠BOC=∠BOD，
而OC=OD，
∴OB⊥CD，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×8=4，
設(shè)⊙O的半徑為R，則OE=AE-OA=8-R，
在Rt△OCE中，
∵OC²=OE²+CE²，
∴R²=（8-R）²+4²，解得R=5，即設(shè)⊙O的半徑為5，
∴⊙O的直徑為10．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．