Question

10．已知E，F(xiàn)分別是AB、CD上的動點，P也為一動點．
（1）如圖1，若AB∥CD，求證：∠P=∠BEP+∠PFD；
（2）如圖2，若∠P=∠PFD-∠BEP，求證：AB∥CD；
（3）如圖3，AB∥CD，移動E，F(xiàn)使得∠EPF=90°，作∠PEG=∠BEP，求$\frac{∠AEG}{∠PFD}$的值．

Answer 1

分析 （1）過P作PQ平行于AB，由AB與CD平行，得到PQ與CD平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到兩對角相等，再由∠EPF=∠1+∠2，等量代換就可得證；
（2）先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠P=∠BGP-∠BEP，再由∠P=∠PGB-∠BEP可知，∠PFD=∠PGB，由此可得出結(jié)論；
（3）由（1）中的結(jié)論∠EPF=∠BEP+∠PFD，設(shè)設(shè)∠PFD=x，則∠BEP=90°-x，根據(jù)∠PEG=∠BEP=90°-x，利用平角定義表示出∠AEG，即可求出所求比值．

解答 解：（1）過P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠BEP=∠1，∠2=∠PFD，
∵∠EPF=∠1+∠2，
∴∠EPF=∠BEP+∠PFD；

（2）∵∠BGP是△PEG的外角，
∴∠P=∠BGP-∠BEP．
∵∠P=∠PGB-∠BEP，
∴∠PFD=∠PGB，
∴AB∥CD；

（3）由（1）的結(jié)論∠EPF=∠BEP+∠PFD=90°，
設(shè)∠PFD=x，則∠BEP=90°-x，
∵∠PEG=∠BEP=90°-x，
∴∠AEG=180°-2（90°-x）=2x，則$\frac{∠AEG}{∠PFD}$=$\frac{2x}{x}$=2

點評 本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，熟知平行線的判定定理與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．