Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）．
（1）求此拋物線的解析式和對稱軸．
（2）在此拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PAC的周長最�。咳舸嬖�，請求出點P的坐標；若不存在，說明理由．
（3）在拋物線上是否存在一點D，使△ABD是直角三角形？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線過點C（0，-2），故設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx-2，由點在拋物線的可列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組即可得出拋物線的解析式，將解析式進行配方即可得出拋物線的對稱軸；
（2）假設(shè)存在，由拋物線的對稱性可知PA=PB，而當B、P、C三點共線時PB+PC最短，故找出直線BC的解析式，令x=$\frac{3}{2}$，求出y值，即可得出結(jié)論；
（3）假設(shè)存在，設(shè)出點D的坐標，結(jié)合拋物線的圖象可知，△ABD是直角三角形邊AB為斜邊，由兩點間的距離公式表示出各邊的長度，結(jié)合勾股定理即可得出關(guān)于m的一元四次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵該拋物線過點C（0，-2），
∴可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2，
將A（-1，0），B（4，0）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b-2}\\{0=16a+4b-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴此拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．
∵拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}（x-\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{25}{8}$，
∴拋物線的對稱軸為x=$\frac{3}{2}$．
（2）假設(shè)存在符合條件的點P，連接PB，如圖所示．

由拋物線的對稱性可知：PA=PB，
△PAC的周長C_△PAC=PA+PC+AC=PB+PC+AC，
∴當B、P、C三點共線時，PB+PC最�。ㄈ�角形中兩邊之和大于第三邊）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c，
將點B（4，0），點C（0，-2）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{0=4k+c}\\{-2=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
即直線BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2．
令x=$\frac{3}{2}$，則有y=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$-2=-$\frac{5}{4}$，
即點P的坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$）．
故在此拋物線的對稱軸上存在點P，使△PAC的周長最小，點P的坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$）．
（3）假設(shè)存在，設(shè)點D的坐標為（m，$\frac{1}{2}{m}^{2}$-$\frac{3}{2}$m-2），
∵點A（-1，0），點B（4，0），
∴由兩點間的距離公式可知：AB=4-（-1）=5，AD=$\sqrt{（m+1）^{2}+（\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{3}{2}m-2）^{2}}$，BD=$\sqrt{（m-4）^{2}+（\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{3}{2}m-2）^{2}}$．
∵△ABD是直角三角形，且結(jié)合二次函數(shù)圖象可知AB只能為斜邊，
∴AD²+BD²=AB²，即$（m+1）^{2}+（m-4）^{2}+2（\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{3}{2}m-2）^{2}$=25，
整理得：m（m+1）（m-3）（m-4）=0，
解得：m₁=0，m₂=-1（舍去），m₃=3，m₄=4（舍去），
此時點D的坐標為（0，-2）或（3，-2）．
故在拋物線上存在一點D，使△ABD是直角三角形，點D的坐標為（0，-2）或（3，-2）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、拋物線的對稱性、兩點間的距離公式以及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵：（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）由三角形中兩邊之和大于第三邊尋找點P的位置；（3）結(jié)合兩點間的距離公式和勾股定理列出方程．本題屬于中檔題，難度不大，（1）（2）較簡單；（3）用到了分解因式解一元四次方程，稍顯繁瑣．