Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=8cm．BC=4cm，CD=5cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿折線BC-CD-DA以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），△PAB面積為S（cm²）．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求S的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；
（3）當(dāng)S=12時(shí)，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直角梯形,動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象

專題：幾何綜合題,動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）當(dāng)t=2時(shí)，可求出P運(yùn)動(dòng)的路程即BP的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過D作DH⊥AB，P′M⊥AB，求出P′M的值即為△PAB中AB邊上的高，再利用三角形的面積公式計(jì)算即可；
（3）當(dāng)S=12時(shí)，則P在BC或AD上運(yùn)動(dòng)，利用（1）和（2）中的面積和高的關(guān)系求出此時(shí)的t即可，

解答：解：（1）∵動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)t=2時(shí)，BP=2cm，
∴S的值=

1

2

AB•BP=

1

2

×8×2=8cm²；

（2）過D作DH⊥AB，過P′作P′M⊥AB，
∴P′M∥DH，
∴△AP′M∽△ADH，
∴

AP′

AD

=

P′M

DH

，
∵AB=8cm，CD=5cm，
∴AH=AB-DC=3cm，
∵BC=4cm，
∴AD=

32+42

=5cm，
又∵A′P=14-t，
∴

14-t

5

=

P′M

4

，
∴P′M=

4(14-t)

5

，
∴S=

1

2

AB•P′M=

16(14-t)

5

，
即S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式S=

16(14-t)

5

；

（3）由題意可知當(dāng)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S=

1

2

AB×BC=

1

2

×8×4=16cm²，
所以當(dāng)S=12時(shí)，P在BC或AD上，
當(dāng)P在BC上時(shí)，12=

1

2

×8•t，解得：t=3；
當(dāng)P在AD上時(shí)，12=

16(14-t)

5

，解得：t=

41

4

．
∴當(dāng)S=12時(shí)，t的值為3或

41

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用和三角形面積公式的運(yùn)用，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等，對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問題特別要注意的是分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用．