Question

某集團(tuán)公司試銷一種成本為每件60元的節(jié)能產(chǎn)品，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于40%．經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（萬(wàn)件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)圖象如圖．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．
（2）設(shè)該集團(tuán)公司銷售這種節(jié)能產(chǎn)品獲得利潤(rùn)為W（萬(wàn)元），試求出利潤(rùn)W（萬(wàn)元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，公司可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？
（3）該公司決定每銷售一件產(chǎn)品，就抽出5元錢捐給希望工程．若除去捐款后，所獲利潤(rùn)不低于450萬(wàn)元，請(qǐng)你確定此時(shí)銷售單價(jià)的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）可用待定系數(shù)法來(lái)確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于40%得出x的取值范圍即可；
（2）根據(jù)利潤(rùn)=銷售量×單件的利潤(rùn)，然后將（1）中的函數(shù)式代入其中，求出利潤(rùn)和銷售單件之間的關(guān)系式，然后根據(jù)其性質(zhì)來(lái)判斷出最大利潤(rùn)；
（3）首先得出w與x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用所獲利潤(rùn)不低于450萬(wàn)元，求出x的取值范圍．

解答：解：（1）由題意得：

63k+b=57 70k+b=50

，
解得：

k=-1 b=120

．
故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x+120，
∵成本為每件60元的產(chǎn)品，銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于40%，
∴60≤x≤84；

（2）w=（x-60）（-x+120）=-x²+180x-7200=-（x-90）²+900，
∵拋物線開(kāi)口向下，
∴當(dāng)x＜90時(shí)，w隨x的增大而增大，
而60≤x≤84，
故當(dāng)x=84時(shí)，w=（84-60）×（120-84）=864．
答：當(dāng)銷售價(jià)定為84元/件時(shí)，商家可以獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是864元．

（3）∵該公司決定每銷售一件產(chǎn)品，就抽出5元錢捐給希望工程，
∴w=（x-60-5）（-x+120）=-x²+185x-7800，
當(dāng)w=450，則450=-x²+185x-7800，
解得：x₁=75，x₂=110，
而60≤x≤84，
故74≤x≤84，
即所獲利潤(rùn)不低于450萬(wàn)元，此時(shí)銷售單價(jià)的范圍是：74≤x≤84．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的綜合應(yīng)用和主要結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)，求出二次函數(shù)的最值問(wèn)題；在本題中，還需注意的是自變量的取值范圍，否則容易按照“頂點(diǎn)式”的做法，求出誤解．