Question

11．如圖①，已知點(diǎn)D在AB上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且M為EC的中點(diǎn)．
（1）連接DM并延長交BC于N，求證：CN=AD；
（2）求證：△BMD為等腰直角三角形；
（3）將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)（如圖②所示位置），△BMD為等腰直角三角形的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)證明：若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠ABC=∠ADE=90°可得DE∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，推出∠DEM=∠MCB，根據(jù)ASA推出△EMD≌△CMN，證出CN=ED，因?yàn)锳D=DE，即可得到CN=AD；
（2）由（1）可知CN=AD，DM=MN，再由AB=AC，可得BD=BN，從而可得△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊DN上的中線，再利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可得到△BMD為等腰直角三角形；
（3）作CN∥DE交DM的延長線于N，連接BN，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠E=∠NCM，根據(jù)ASA證△DBA≌△NBC，推出△DBN是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可推出△BMD為等腰直角三角形．

解答 （1）證明：如圖1，
∵∠EDA=∠ABC=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠MCB，
在△EMD和△CMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEM=∠NCM}\\{EM=CM}\\{∠EMD=∠CMN}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE，
∵AD=DE，
∴CN=AD；
（2）證明：由（1）得∴△EMD≌△CMN，
∴CN=AD，DM=MN，
∵BA=BC，
∴BD=BN，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊的中線，
∴BM⊥DM，BM=$\frac{1}{2}$DN=DM，
∴△BMD為等腰直角三角形；
（3）答：△BMD為等腰直角三角形的結(jié)論仍成立，
證明：如圖2，作CN∥DE交DM的延長線于N，連接BN，
∴∠E=∠MCN=45°，
∵∠DME=∠NMC，EM=CM，
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE=DA，MN=MD，
又∵∠DAB=180°-∠DAE-∠BAC=90°，
∠BCN=∠BCM+∠NCM=45°+45°=90°，
∴∠DAB=∠BCN，
在△DBA和△NBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=CN}\\{∠DAB=∠BCN}\\{BA=BC}\end{array}\right.$，
∴△DBA≌△NBC（SAS），
∴∠DBA=∠NBC，DB=BN，
∴∠DBN=∠ABC=90°，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊的中線，
∴BM⊥DM，∠DBM=$\frac{1}{2}$∠DBN=45°=∠BDM，
∴△BMD為等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，此題綜合性比較強(qiáng)，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，類比思想的運(yùn)用．