Question

15．在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，將△COD繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△C₁OD₁，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜90°），連接AC₁、BD₁，AC₁與BD₁交于點P．
（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形．請直接寫出AC₁ 與BD₁的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．
（2）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，判斷AC₁與BD₁的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并給出證明；
（3）如圖3，若四邊形ABCD是平行四邊形，AC=6，BD=12，連接DD₁，設(shè)AC₁=kBD₁，請直接寫出k的值和AC₁²+（kDD₁）²的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)正方形的性質(zhì)得OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，則∠AOB=∠COD=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OC₁=OC，OD₁=OD，∠COC₁=∠DOD₁，則OC₁=OD₁，利用等角的補角相等得∠AOC₁=∠BOD₁，然后根據(jù)“SAS”可證明△AOC₁≌△BOD₁；由∠AOB=90°，則∠OAB+∠ABP+∠OBD₁=90°，所以∠OAB+∠ABP+∠OAC₁=90°，則∠APB=90°所以AC₁⊥BD₁；
（2）如圖2，根據(jù)菱形的性質(zhì)得OC=OA=$\frac{1}{2}$AC，OD=OB=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，則∠AOB=∠COD=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OC₁=OC，OD₁=OD，∠COC₁=∠DOD₁，則OC₁=OA，OD₁=OB，利用等角的補角相等得∠AOC₁=∠BOD₁，加上$\frac{O{C}_{1}}{O{D}_{1}}$=$\frac{OA}{OB}$，根據(jù)相似三角形的判定方法得到△AOC₁∽△BOD₁，得到∠OAC₁=∠OBD₁，由∠AOB=90°得∠OAB+∠ABP+∠OBD₁=90°，則∠OAB+∠ABP+∠OAC₁=90°，則∠APB=90°，所以AC₁⊥BD₁；然后根據(jù)相似比得到$\frac{A{C}_{1}}{B{D}_{1}}$=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{1}{2}BD}$=$\frac{AC}{BD}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$．
（3）與（2）一樣可證明△AOC₁∽△BOD₁，則$\frac{A{C}_{1}}{B{D}_{1}}$=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{AC}{BD}$=$\frac{1}{2}$，所以k=$\frac{1}{2}$；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OD₁=OD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得OD=OB，則OD₁=OB=OD，于是可判斷△BDD₁為直角三角形，根據(jù)勾股定理得BD₁²+DD₁²=BD²=144，所以（2AC₁）²+DD₁²=144，于是有AC₁²+（kDD₁）²=36．

解答 解：（1）AC₁=BD₁，AC₁⊥BD₁；
理由：如圖1，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△C₁OD₁，
∴OC₁=OC，OD₁=OD，∠COC₁=∠DOD₁，
∴OC₁=OD₁，∠AOC₁=∠BOD₁=90°+∠AOD₁，
在△AOC₁和△BOD₁中$\left\{\begin{array}{l}{AO=OB}\\{∠AOC1=∠BOD1}\\{OC1=OD1}\end{array}\right.$，
∴△AOC₁≌△BOD₁（SAS）；
∴AC₁=BD₁，
∵∠AOB=90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OBD₁=90°，
∴∠OAB+∠ABP+∠OAC₁=90°，∴∠APB=90°，則AC₁⊥BD₁；
故AC₁ 與BD₁的數(shù)量關(guān)系是：AC₁=BD₁；AC₁ 與BD₁的位置關(guān)系是：AC₁⊥BD₁；

（2）AC₁=$\frac{3}{4}$BD₁，AC₁⊥BD₁．
理由：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OC=OA=$\frac{1}{2}$AC，OD=OB=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD．
∵△C₁OD₁由△COD繞點O旋轉(zhuǎn)得到，
∴O C₁=OC，O D₁=OD，∠CO C₁=∠DO D₁．
∴O C₁=OA，O D₁=OB，∠AO C₁=∠BO D₁，
∴$\frac{O{C}_{1}}{OA}$=$\frac{O{D}_{1}}{OB}$．
∴$\frac{O{C}_{1}}{O{D}_{1}}$=$\frac{OA}{OB}$．
∴△AO C₁∽△BOD₁．
∴∠O AC₁=∠OB D₁．
又∵∠AOB=90°，
∴∠O AB+∠ABP+∠OB D₁=90°．
∴∠O AB+∠ABP+∠O AC₁=90°．
∴∠APB=90°．
∴AC₁⊥BD₁．
∵△AO C₁∽△BOD₁，
∴$\frac{A{C}_{1}}{B{D}_{1}}$=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{1}{2}BD}$=$\frac{AC}{BD}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$．
即AC₁=$\frac{3}{4}$BD₁，AC₁⊥BD₁．

（3）如圖3，與（2）一樣可證明△AOC₁∽△BOD₁，
∴$\frac{A{C}_{1}}{B{D}_{1}}$=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{AC}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴k=$\frac{1}{2}$；
∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△C₁OD₁，
∴OD₁=OD，
而OD=OB，
∴OD₁=OB=OD，
∴△BDD₁為直角三角形，
在Rt△BDD₁中，
BD₁²+DD₁²=BD²=144，
∴（2AC₁）²+DD₁²=144，
∴AC₁²+（kDD₁）²=36．

點評 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握平行四邊形和特殊平行四邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會運用三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形相似的判定與性質(zhì)．