Question

15．如圖，AB是⊙O的直徑，C、G是⊙O上兩點，且AC=CG，過點C的直線CD⊥BG于點D，交BA的延長線于點E，連接BC，交OD于點F．
（1）求證：CD是⊙O的切線．
（2）若$\frac{OF}{FD}=\frac{2}{3}$，求∠E的度數(shù)．
（3）連接AD，在（2）的條件下，若CD=$\sqrt{3}$，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接OC，AC，CG，由圓周角定理得到∠ABC=∠CBG，根據(jù)同圓的半徑相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代換得到∠OCB=∠CBG，根據(jù)平行線的判定得到OC∥BG，即可得到結(jié)論；
（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到$\frac{OC}{BD}=\frac{OF}{DF}=\frac{2}{3}$，$\frac{OC}{BD}=\frac{OE}{BE}=\frac{2}{3}$，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）如圖2，過A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=3，DE=3$\sqrt{3}$，BE=6，在R_t△DAH中，AD=$\sqrt{{AH}^{2}{+DH}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}{+（2\sqrt{3}）}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

解答 （1）證明：如圖1，連接OC，AC，CG，
∵AC=CG，
∴$\widehat{AC}=\widehat{CG}$，
∴∠ABC=∠CBG，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OCB=∠CBG，
∴OC∥BG，
∵CD⊥BG，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵OC∥BD，
∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，
∴$\frac{OC}{BD}=\frac{OF}{DF}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OC}{BD}=\frac{OE}{BE}=\frac{2}{3}$，
∵OA=OB，
∴AE=OA=OB，
∴OC=$\frac{1}{2}$OE，
∵∠ECO=90°，
∴∠E=30°；

（3）解：如圖2，過A作AH⊥DE于H，
∵∠E=30°
∴∠EBD=60°，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}∠$EBD=30°，
∵CD=$\sqrt{3}$，
∴BD=3，DE=3$\sqrt{3}$，BE=6，
∴AE=$\frac{1}{3}$BE=2，
∴AH=1，
∴EH=$\sqrt{3}$，
∴DH=2$\sqrt{3}$，
在R_t△DAH中，AD=$\sqrt{{AH}^{2}{+DH}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}{+（2\sqrt{3}）}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．