Question

10．拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為D（1，4），交x軸于A、B兩點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，3）
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，M為線段O、B之間一動(dòng)點(diǎn)，N為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在使M、C、D、N四點(diǎn)圍成的四邊形周長(zhǎng)最��？若存在，求出這個(gè)最小值及M、N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若P是y軸上的點(diǎn)，Q是拋物線上的點(diǎn)，求：以P、Q、A、B為頂點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=a（x-1）²+4，將C（2，3）代入即可求出a．
（2）如圖1中，作D（1，4）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)G（-1，4），C（2，3）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)H（2，-3），連接GH與x軸交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，此時(shí)四邊形CDNM周長(zhǎng)最�。�利用兩點(diǎn)距離公式求出GH，CD即可解決周長(zhǎng)的最小值，再求出直線GH即可解決點(diǎn)M、N坐標(biāo)．
（3）分AB為邊、AB為對(duì)角線兩種情形解決即可．AB為邊時(shí)注意也有兩種情形①當(dāng)點(diǎn)Q在軸的右側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)Q在y軸的左側(cè)時(shí)；若AB為平行四邊形的對(duì)角線，如圖2，過(guò)Q作QF⊥x軸，垂足為F，利用△POB≌△QFA解決問(wèn)題．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=a（x-1）²+4，
將C（2，3）代入，解得：a=-1
∴拋物線的表達(dá)式為：y=-x²+2x+3．
（2）作D（1，4）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)G（-1，4），
C（2，3）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)H（2，-3），
∵CD是一個(gè)定值，∴要使四邊形MCDN的周長(zhǎng)最小，
只要使DN+MN+MC最小即可
由圖形的對(duì)稱性，可知，
DN+MN+MC=GN+NM+HM，
只有當(dāng)GH為一條直線段時(shí)，
可求得：CD=$\sqrt{2}$，GH=$\sqrt{58}$，
∴四邊形MCDN的周長(zhǎng)最小為$\sqrt{2}$+$\sqrt{58}$，
此時(shí)直線GH為y=-$\frac{7}{3}$x+$\frac{5}{3}$，
∴點(diǎn)N（0，$\frac{5}{3}$），點(diǎn)M（0，$\frac{5}{7}$）．
（3）若AB為平行四邊形的邊，∵AB=4，AB∥PQ且AB=PQ，以為頂點(diǎn)的四邊形構(gòu)成平行四邊形，
①當(dāng)點(diǎn)Q在軸的右側(cè)時(shí)，x_Q=4，又∵點(diǎn)Q在拋物線上，
∴y_Q=-5，∴Q₁（4，-5），
②當(dāng)點(diǎn)Q在y軸的左側(cè)時(shí)，x_Q=-4，又∵點(diǎn)Q在拋物線上，
∴y_Q=-21，∴Q₂（-4，-21），
若AB為平行四邊形的對(duì)角線，如圖2，過(guò)Q作QF⊥x軸，垂足為F，
∵四邊形PAQB為平行四邊形，
∴AQ=PB，AQ∥PB，
∴∠QAF=∠PBO
在△AFQ和△BOP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QAF=∠PBO}\\{∠AFQ=∠POB=90°}\\{AQ=PB}\end{array}\right.$，
∴△POB≌△QFA，
∴AF=OB=1
∴x_Q=2，又∵點(diǎn)Q在拋物線上，∴y_Q=3，∴Q₃（2，3），
綜上：符合要求的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q₁（4，-5），Q₂（-4，-21），Q₃（2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)、平行四邊形的性質(zhì)、對(duì)稱等知識(shí)，學(xué)會(huì)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，利用對(duì)稱求最小值問(wèn)題，第三個(gè)問(wèn)題學(xué)會(huì)分類討論，利用全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考?jí)狠S題．