Question

19．如圖，等邊三角形ABC中，點(diǎn)P為AB中點(diǎn)，點(diǎn)Q為AC中點(diǎn)，R為BC中點(diǎn)，M為RC上任一點(diǎn)，△PMS為等邊三角形，求證：RM=QS．

Answer 1

分析 判斷出∠SPQ=∠MPR，再由兩個(gè)等邊三角形的邊，判斷出△PRM≌△PQS，即可求解

解答 證明：如圖，連接PR，PQ，SQ，

∵P，Q，R是等邊三角形的三邊中點(diǎn)，
∴AB=BC=AC，∠A=∠C=∠ABC，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BC，PR=$\frac{1}{2}$AC，RQ=$\frac{1}{2}$AB，
∴PQ=PR=RQ，
∵等邊三角形PMS，
∴PM=PS=MS，∠QPR=∠SPM=60°，
∴∠QPR-∠QPM=∠SMP-∠QPM，
∴∠QPS=∠RPM，
在△PRM和△PQS中，
$\left\{\begin{array}{l}{PQ=PR}\\{∠QPS=∠RPM}\\{PS=PM}\end{array}\right.$
∴△PRM≌△PQS，
∴QS=RM；

點(diǎn)評 本題考查了三角形的全等的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，判定三點(diǎn)共線的方法，解本題的關(guān)鍵是得到∠QSP=∠RPM，重合添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考常考題型．