Question

19．閱讀：如圖1，點P（x，y）在平面直角坐標中，過點P作PA⊥x軸，垂足為A，將點P繞垂足A順時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°）得到對應(yīng)點P′，我們稱點P到點P′的運動為傾斜α運動．例如：點P（0，2）傾斜30°運動后的對應(yīng)點為P′（1，$\sqrt{3}$）．
圖形E在平面直角坐標系中，圖形E上的所有點都作傾斜α運動后得到圖形E′，這樣的運動稱為圖形E的傾斜α運動．

理解
（1）點Q（1，2）傾斜60°運動后的對應(yīng)點Q′的坐標為（1+$\sqrt{3}$，1）；
（2）如圖2，平行于x軸的線段MN傾斜α運動后得到對應(yīng)線段M′N′，M′N′與MN平行且相等嗎？說明理由．
應(yīng)用：（1）如圖3，正方形AOBC傾斜α運動后，其各邊中點E，F(xiàn)，G，H的對應(yīng)點E′，F(xiàn)′，G′，H′構(gòu)成的四邊形是什么特殊四邊形：矩形；
（2）如圖4，已知點A（0，4），B（2，0），C（3，2），將△ABC傾斜α運動后能不能得到Rt△A′B′C′，且∠A′C′B′為直角，其中點A′，B′，C′為點A，B，C的對應(yīng)點．請求出cosα的值．

Answer 1

分析 理解：
（1）根據(jù)題目中稱點P到P′的運動為傾α運動的定義來求Q′的坐標；
（2）根據(jù)題目中圖形E的傾α運動的定義可以判斷M′N′與MN的關(guān)系；
應(yīng)用：
（1）參考理解（2）可得，正方形AOBC旋轉(zhuǎn)后形成菱形，菱形的四邊中點組成的四邊形是矩形；
（2）先求出A′B′=4=OA′，利用三角函數(shù)求得cosα的值．

解答 解：（1）如圖1，

過點Q作QA⊥x軸，垂足為A，過旋轉(zhuǎn)Q′作x軸的垂線，垂足為B，
在Rt△ABQ′中，∠Q′AB=30°，BQ′=1，
由勾股定理得AB=$\sqrt{3}$，
∴OB=1+$\sqrt{3}$，
∴Q′的坐標為（1+$\sqrt{3}$，1）．故答案為：（1+$\sqrt{3}$，1）．

（2）M′N′與MN平行且相等，
理由如下：
如圖2，

分別過點M、N作MA⊥x軸于點A，NB⊥x軸于點B，
∴MN∥AB，且MN=AB，
由定義可知，M′A∥N′B，M′A=N′B，
∴四邊M′ABN′是平行四邊形，
∴M′N′∥AB，M′N′=AB，
∴M′N′與MN平行且相等．
應(yīng)用：（1）由理解（2）可得，正方形AOBC旋轉(zhuǎn)后形成菱形，
菱形的四邊中點組成的四邊形是矩形．
故答案為：矩形；
（2）能，cosα=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
如圖3，

設(shè)AB的中點為D，
∴D點坐標為（1，2），
∴CD∥x軸，且CD=2，
∵D點對應(yīng)點D′是A′B′中點，C′D′=2，
∴C′D′=$\frac{1}{2}$A′B′，
∴A′B′=4=OA′，
∵∠α=$\frac{1}{2}$∠OA′B′，
∴cosα=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形，正方形，矩形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是旋轉(zhuǎn)前后找到相等的量．