Question

13．某地欲搭建一橋，橋的底部兩端間的距離AB=L，稱跨度，橋面最高點到AB的距離CD=h稱拱高，當(dāng)L和h確定時，有兩種設(shè)計方案可供選擇：①拋物線型，②圓弧型．已知這座橋的跨度L=32米，拱高h=8米．
（1）如果設(shè)計成拋物線型，以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系，求橋拱的函數(shù)解析式；
（2）如果設(shè)計成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑；
（3）在距離橋的一端4米處欲立一橋墩EF支撐，在兩種方案中分別求橋墩的高度．

Answer 1

分析 （1）拋物線的解析式為y=ax²+c，把點C（0，8）和點B（16，0），代入即可求出拋物線解析式；
（2）設(shè)弧AB所在的圓心為O，C為弧AB的中點，CD⊥AB于D，延長CD經(jīng)過O點，設(shè)⊙O的半徑為R，利用勾股定理求出即可；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，利用垂徑定理以及勾股定理得出AO的長，再求出EF的長即可．

解答 解：（1）拋物線的解析式為y=ax²+c，
又∵拋物線經(jīng)過點C（0，8）和點B（16，0），
∴0=256a+8，a=-$\frac{1}{32}$．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{32}$x²+8（-16≤x≤16）；
（2）設(shè)弧AB所在的圓心為O，C為弧AB的中點，CD⊥AB于D，延長CD經(jīng)過O點，設(shè)⊙O的半徑為R，
在Rt△OBD中，OB²=OD²+DB²
∴R²=（R-8）²+16²，解得R=20；
（3）①在拋物線型中設(shè)點F（x，y）在拋物線上，x=OE=16-4=12，
EF=y=3.5米；
②在圓弧型中設(shè)點F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，
OH⊥F′E′于H，則OH=D E′=16-4=12，O F′=R=20，
在Rt△OH F′中，H F′=$\sqrt{2{0}^{2}-1{2}^{2}}$，
∵HE′=OD=OC-CD=20-8=12，E′F′=HF′-HE′=16-12=4（米）
∴在離橋的一端4米處，拋物線型橋墩高3.5米； 圓弧型橋墩高4米．

點評 此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意畫出圖形結(jié)合勾股定理得出是解題關(guān)鍵．