Question

1．如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，PA=1，PB=2$\sqrt{2}$，PD=$\sqrt{10}$，將△ADP沿點A旋轉(zhuǎn)至△ABP′，連結(jié)PP′，并延長AP與BC相交于點Q．
（1）求PP′的長；
（2）求∠BPQ的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠BAD=90°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，于是可判斷△APP′是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得PP′=$\sqrt{2}$PA=$\sqrt{2}$；
（2）由等腰直角三角形性質(zhì)知∠APP′=45°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得PD=P′B=$\sqrt{10}$，接著根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△PP′B為直角三角形，∠P′PB=90°，然后利用平角定義計算∠BPQ的度數(shù)．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ADP沿點A旋轉(zhuǎn)至△ABP′，
∴AP=AP′=1，PD=P′B=$\sqrt{10}$，∠PAP′=∠DAB=90°，
∴△APP′是等腰直角三角形，
∴PP′=$\sqrt{P{A}^{2}+P′{A}^{2}}$=$\sqrt{2}$；

（2）∵△APP′是等腰直角三角形，
∴∠APP′=45°，
在△PP′B中，PP′=$\sqrt{2}$，PB=2$\sqrt{2}$，P′B=$\sqrt{10}$，
∵（$\sqrt{2}$）²+（2$\sqrt{2}$）²=（$\sqrt{10}$）²，
∴PP′²+PB²=P′B²，
∴△PP′B為直角三角形，∠P′PB=90°，
∴∠BPQ=180°-∠APP′-∠P′PB=180°-45°-90°=45°．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理．