Question

17．如圖，拋物線y=-x²+2x+m+1交x軸與點(diǎn)A（a，0）和B（b，0），交y軸于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，下列四個(gè)命題：
①當(dāng)x＞0時(shí)，y＞0；
②若a=-1，則b=4；
③拋物線上有兩點(diǎn)P（x₁，y₁）和Q（x₂，y₂），若x₁＜1＜x₂，且x₁+x₂＞2，則y₁＞y₂；
④點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為6．
其中真命題的序號(hào)是（　�。�

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． ④

Answer 1

分析 利用拋物線在x軸上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍可對(duì)①進(jìn)行判斷；先求出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，然后利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性可對(duì)②進(jìn)行判斷；先求出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程，然后比較點(diǎn)P和Q到對(duì)稱(chēng)軸的距離大小，則根據(jù)二次函數(shù)的大小可對(duì)③進(jìn)行判斷；先求出D點(diǎn)和E點(diǎn)坐標(biāo)，則作D點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′（-1，4），E點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′（2，-3），連結(jié)D′E′分別交x軸和y軸于G、F點(diǎn)，如圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)DF+FG+GE的值最小，所以四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小，然后利用勾股定理計(jì)算出DE和D′E′，則可對(duì)④進(jìn)行判斷．

解答 解：當(dāng)a＜x＜b時(shí)，y＞0，所以①錯(cuò)誤；
拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），則B（3，0），所以②錯(cuò)誤；
拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，而x₁＜1＜x₂，則點(diǎn)P、Q在對(duì)稱(chēng)軸的兩旁，因?yàn)閤₁+x₂＞2，所以點(diǎn)Q離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn)，所以y₁＞y₂，所以③正確；
當(dāng)m=2，則y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，則D（1，4）；當(dāng)x=0時(shí)，y=-x²+2x+3=3，則C（0，3），C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，3），作D點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′（-1，4），E點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′（2，-3），連結(jié)D′E′分別交x軸和y軸于G、F點(diǎn)，如圖，
所以DF+FG+GE=D′F+FG+GE′=D′E′，此時(shí)DF+FG+GE的值最小，所以四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小，最小值=$\sqrt{{1}^{2}+（4-3）^{2}}$+$\sqrt{（-1-2）^{2}+（4+3）^{2}}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{58}$，所以④錯(cuò)誤．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成．判定前面3個(gè)命題真假的關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷最后一個(gè)命題的真假的關(guān)鍵是掌握最短路徑的解決方法．