Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）的圖象如圖所示．已知此圖象經(jīng)過A（m，n），B（2，2）兩點(diǎn)．過點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，AC與BD交于點(diǎn)F．一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、D，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)E．
（1）如果AC=$\frac{3}{2}$OD，求a、b的值；
（2）如果BC∥AE，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)B（2，2）在y=$\frac{k}{x}$的圖象上，求得k=4，$y=\frac{4}{x}$，根據(jù)已知條件得到A點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$，3），解方程組即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，$\frac{4}{m}$），則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，0），推出四邊形BCED為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CE=BD=2，DE=BC，∠ADF=∠AEC，根據(jù)三角函數(shù)的定義列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，∵點(diǎn)B（2，2）在y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=4，$y=\frac{4}{x}$，
∵BD⊥y軸，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），OD=2．
∵AC⊥x軸，AC=$\frac{3}{2}$OD，
∴AC=3，即A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，
∵點(diǎn)A在$y=\frac{4}{x}$的圖象上，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$，3），
∵一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、D，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{3}a+b=3\\ b=2.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{4}\\ b=2.\end{array}\right.$
∴a=$\frac{3}{4}$，b=2，

（2）如圖2，設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，$\frac{4}{m}$），則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，0），
∵BD∥CE，且BC∥DE，
∴四邊形BCED為平行四邊形，
∴CE=BD=2，DE=BC，
∵BD∥CE，
∴∠ADF=∠AEC，
∴在Rt△AFD中，tan∠ADF=$\frac{AF}{DF}=\frac{{\frac{4}{m}-2}}{m}$，
在Rt△ACE中，tan∠AEC=$\frac{AC}{EC}=\frac{{\frac{4}{m}}}{2}$，
∴$\frac{{\frac{4}{m}-2}}{m}=\frac{{\frac{4}{m}}}{2}$，解得m=1，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），
∴BC=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．