Question

8．如圖，拋物線與x軸交于點A（-5，0）和點B（3，0）．與y軸交于點C（0，5）．有一寬度為1，長度足夠的矩形（陰影部分）沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對邊交拋物線于點P和Q，交直線AC于點M和N．交x軸于點E和F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點M和N都在線段AC上時，連接MF，如果sin∠AMF=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，求點Q的坐標(biāo)；
（3）在矩形的平移過程中，當(dāng)以點P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線為y=a（x+5）（x-3），把點（0，5）代入即可解決問題．
（2）作FG⊥AC于G，設(shè)點F坐標(biāo)（m，0），根據(jù)sin∠AMF=$\frac{FG}{FM}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，列出方程即可解決問題．
（3））①當(dāng)MN是對角線時，設(shè)點F（m，0），由QN=PM，列出方程即可解決問題．②當(dāng)MN為邊時，設(shè)點Q（m，-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+5）則點P（m+1，-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+6），代入拋物線解析式，解方程即可．

解答 解：（1）∵拋物線與x軸交于點A（-5，0），B（3，0），
∴可以假設(shè)拋物線為y=a（x+5）（x-3），把點（0，5）代入得到a=-$\frac{1}{3}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+5．
（2）作FG⊥AC于G，設(shè)點F坐標(biāo)（m，0），
則AF=m+5，AE=EM=m+6，F(xiàn)G=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m+5），F(xiàn)M=$\sqrt{E{F}^{2}+E{M}^{2}}$=$\sqrt{1+（m+6）^{2}}$，
∵sin∠AMF=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴$\frac{FG}{FM}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}（m+5）}{\sqrt{1+（m+6）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，整理得到2m²+19m+44=0，
∴（m+4）（2m+11）=0，
∴m=-4或-5.5（舍棄），
∴點Q坐標(biāo)（-4，$\frac{7}{3}$）．
（3）①當(dāng)MN是對角線時，點M在y軸的右側(cè)，設(shè)點F（m，0），
∵直線AC解析式為y=x+5，
∴點N（m，m+5），點M（m+1，m+6），
∵QN=PM，
∴-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+5-m-5=m+6-[-$\frac{1}{3}$（m+1）²-$\frac{2}{3}$（m+1）+5]，
解得m=-3+$\sqrt{6}$或-3-$\sqrt{6}$（舍棄），
此時M（-2+$\sqrt{6}$，3+$\sqrt{6}$），
當(dāng)MN是對角線時，點N在點A的左側(cè)時，設(shè)點F（m，0）．
∴m+5-（-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+5）=[-$\frac{1}{3}$（m+1）²-$\frac{2}{3}$（m+1）+5]-（m+6），
解得m=-3-$\sqrt{6}$或-3+$\sqrt{6}$（舍棄），
此時M（-2-$\sqrt{6}$，3-$\sqrt{6}$）
②當(dāng)MN為邊時，設(shè)點Q（m，-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+5）則點P（m+1，-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+6），
∵NQ=PM，
∴-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+6=-$\frac{1}{3}$（m+1）²-$\frac{2}{3}$（m+1）+5，
解得m=-3．
∴點M坐標(biāo)（-2，3），
綜上所述以點P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，點M的坐標(biāo)為（-2，3）或（-2+$\sqrt{6}$，3+$\sqrt{6}$）或（-2-$\sqrt{6}$，3-$\sqrt{6}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、三角函數(shù)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會分類討論，用方程的思想解決問題，屬于中考壓軸題．