Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA=2，OC=6，在OC上取點(diǎn)D將△AOD沿AD翻折，使O點(diǎn)落在AB邊上的E點(diǎn)處，將一個(gè)足夠大的直角三角板的頂點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)沿線段DA→AB移動(dòng)，且一直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，另一直角邊所在直線與直線DE，BC分別交于點(diǎn)M，N．
（1）填空：D點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），E點(diǎn)坐標(biāo)是（2，2）；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段DA上移動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)M，使△CMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△AOD沿AD翻折，使O點(diǎn)落在AB邊上的E點(diǎn)處，得到∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，求出OD=2，得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)DE=OD=2，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由翻折可知四邊形AODE為正方形，過(guò)M作MH⊥BC于H，先求出∠NMH=∠MNH=45°，得出NH=MH，求出MN的長(zhǎng)，再根據(jù)直線OE的解析式，依題意得MN∥OE，設(shè)MN的解析式為y=x+b，確定出直線DE的解析式與直線BC的解析式，進(jìn)而表示出M與N坐標(biāo)，表示出CM，CN，MN，分三種情況考慮：①當(dāng)CM=CN時(shí)；②當(dāng)CM=MN時(shí)；③當(dāng)CM=MN時(shí)，分別求出滿足題意M的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵將△AOD沿AD翻折，使O點(diǎn)落在AB邊上的E點(diǎn)處，
∴∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，
∴OA=OD，
∵OA=2，
∴OD=2，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），DE=OD=2，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)是（2，2），
故答案為：（2，0），（2，2）；

（2）存在點(diǎn)M使△CMN為等腰三角形，理由如下：
由翻折可知四邊形AODE為正方形，
過(guò)M作MH⊥BC于H，如圖所示，
∵∠PDM=∠PMD=45°，則∠NMH=∠MNH=45°，
NH=MH=4，MN=4$\sqrt{2}$，
∵直線OE的解析式為：y=x，依題意得MN∥OE，
∴設(shè)MN的解析式為y=x+b，
而DE的解析式為x=2，BC的解析式為x=6，
∴M（2，2+b），N（6，6+b），
∴CM=$\sqrt{{4}^{2}+（2+b）^{2}}$，CN=6+b，MN=4$\sqrt{2}$，
分三種情況討論：
①當(dāng)CM=CN時(shí)，根據(jù)勾股定理得：4²+（2+b）²=（6+b）²，
解得：b=-2，此時(shí)M（2，0）；
②當(dāng)CM=MN時(shí)，根據(jù)勾股定理得：4²+（2+b）²=（4$\sqrt{2}$）²，
解得：b₁=2，b₂=-6（不合題意舍去），此時(shí)M（2，4）；
③當(dāng)CN=MN時(shí)，6+b=4$\sqrt{2}$，
解得：b=4$\sqrt{2}$-6，此時(shí)M（2，4$\sqrt{2}$-4）；
綜上所述，存在點(diǎn)M使△CMN為等腰三角形，M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，0），（2，4），（2，4$\sqrt{2}$-4）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：折疊的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，熟練掌握一次函數(shù)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．