Question

5．已知拋物線C：y=x²-3x+m，直線l：y=kx（k＞0），當(dāng)k=1時(shí)，拋物線C與直線l只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（1）求m的值；
（2）若直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線l與直線l₁：y=-3x+b交于點(diǎn)P，且$\frac{1}{OA}+\frac{1}{OB}=\frac{2}{OP}$，求b的值；
（3）在（2）的條件下，設(shè)直線l₁與y軸交于點(diǎn)Q，問：是否在實(shí)數(shù)k使S_△APQ=S_△BPQ？若存在，求k的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）兩圖象有一個(gè)交點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的方程組有一組解，即△=0，代入計(jì)算即可求出m的值；
（2）作出輔助線，得到△OAC∽△OPD，$\frac{OP}{OA}$+$\frac{OP}{OB}$=2，同理$\frac{PD}{AC}$+$\frac{PD}{BE}$=2，AC，BE是x²-（k+3）x+4=0兩根，即可；
（3）由S_△APQ=S_△BPQ得到AC+BE=2PD，建立方程（k+3）²=16即可．

解答 解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，拋物線C與直線l只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴直線l解析式為y=x，
∵$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-3x+m}\\{y=x}\end{array}\right.$，
∴x²-3x+m=x，
∴x²-4x+m=0，
∴△=16-4m=0，
∴m=4，
（2）如圖，

分別過點(diǎn)A，P，B作y軸的垂線，垂足依次為C，D，E，
則△OAC∽△OPD，
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{PD}{AC}$． 
同理，$\frac{OP}{BO}=\frac{PD}{BE}$． 
∵$\frac{1}{OA}$+$\frac{1}{OB}$=$\frac{2}{OP}$，
∴$\frac{OP}{OA}$+$\frac{OP}{OB}$=2． 
∴$\frac{PD}{AC}$+$\frac{PD}{BE}$=2． 
∴$\frac{1}{AC}$+$\frac{1}{BE}$=$\frac{2}{PD}$，
即$\frac{AC+BE}{AC×BE}$=$\frac{2}{PD}$．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-3x+b}\end{array}\right.$，
得，x=$\frac{k+3}$，
即PD=|$\frac{k+3}$|．
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{2}-3x+4}\end{array}\right.$消去y，得x²-（k+3）x+4=0． 
∵AC，BE是以上一元二次方程的兩根，
∴AC+BE=k+3，AC×BE=4．
①當(dāng)b＞0時(shí)，
∴$\frac{k+3}{4}=\frac{2}{\frac{k+3}}$． 
解得b=8．
②當(dāng)b＜0時(shí)，
∴$\frac{k+3}{4}$=-$\frac{2}{\frac{k+3}}$，
∴b=-8，
（3）不存在．理由如下：
假設(shè)存在，
當(dāng)S_△APQ=S_△BPQ時(shí)，有AP=PB，
于是PD-AC=BE-PD，
即AC+BE=2PD． 
由（2）可知AC+BE=k+3，PD=$\frac{8}{k+3}$，
∴k+3=2×$\frac{8}{k+3}$，
即（k+3）²=16． 
解得k=1（舍去k=-7）．
當(dāng)k=1時(shí)，A，B兩點(diǎn)重合，△BQA不存在． 
∴不存在實(shí)數(shù)k使S_△APQ=S_△BPQ．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，比例的性質(zhì)，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，解本題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系．