Question

3．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的圓與AC，AB分別交于點(diǎn)D，E，連接DE、DB，若∠CBD=∠A．
（1）直接寫出圖中所有相似三角形；
（2）若AD：AO=8：5，BC=12，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）利用“兩角法”找得圖中的相似三角形即可；
（2）求出AD：AE：DE=8：10：6，根據(jù)△ADE∽△ACB，推出AD：AE：DE=AC：AB：CB=8：10：6．由此求得AC、AB的長度，然后由銳角三角函數(shù)的定義來求AE的長度．

解答 解：（1）△DBE∽△ABD，ADE∽△ACB，△BDC∽△ABC，△BDC∽△AED．
理由如下：連結(jié)OD，如圖，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
又∵∠CBD=∠A，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥DB，
∴直線BD與⊙O相切，
①由切線的性質(zhì)得到：∠BDE=∠A．
又∠DBE=∠ABD，
∴△DBE∽△ABD．
②∵AE是直徑，
∴∠ADE=90°．
又∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB．
③∵∠DCB=∠BCA，∠CBD=∠A，
∴△BDC∽△ABC．
④再由相似的傳遞性得出：△BDC∽△AED

（2）∵AD：AO=8：5，
∴AD：AE=8：10，
∴AD：AE：DE=8：10：6．
∵△ADE∽△ACB，
∴AD：AE：DE=AC：AB：CB=8：10：6，
∵BC=12，
∴AC=16，AB=20，
∵∠CBD=∠A
∴tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{3}{4}$，則CD=9．
∴AD=AC-AD=16-9=7，
∴AE=$\frac{AD}{sinA}$=$\frac{35}{4}$．
即⊙O的直徑為$\frac{35}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理．