Question

13．如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與一直線相交于A（-1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N．其頂點(diǎn)為D．
（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（2）點(diǎn)M在直線x=3上，求使MN+MD的值最小時(shí)的M點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與直線AC相交于點(diǎn)B，E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BD交拋物線于點(diǎn)F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得b，c的值，從而得到拋物線的解析式，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b．將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可求得k、b的值，從而得到直線AC的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)N與直線x=3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′，連接DN′，交直線x=3與點(diǎn)M．先求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后可得到點(diǎn)N′的坐標(biāo)，接下來(lái)求得DN′的解析式，然后將x=3代入直線DN′的解析式可求得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)
（3）當(dāng)EF=BD時(shí)，四邊形EFDB為平行四邊形．故此EF=BD=2．設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，a+1），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，-a²+2a+3）．于是可求得EF的長(zhǎng)與a的函數(shù)關(guān)系式，最后依據(jù)EF=2列出關(guān)于a的方程，從而可求得a的值，于是可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-4+2b+c=3}\end{array}\right.$，解得：b=2，c=3．
∴拋物線的解析式為y═-x²+2x+3．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b．
∵將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$，解得k=1，b=1．
∴直線AC的解析式為y=x+1．
（2）如圖1所示，過(guò)點(diǎn)N與直線x=3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′，連接DN′，交直線x=3與點(diǎn)M．

∵當(dāng)x=0時(shí)y═3，
∴N（0，3）．
∵點(diǎn)N與點(diǎn)N′關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)，
∴N′（6，3）．
∵y═-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）．
設(shè)DN的解析式為y=kx+b．
將點(diǎn)N′與點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=3}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，解得：k=-$\frac{1}{5}$，b=$\frac{21}{5}$．
∴直線DN′的解析式為y=-$\frac{1}{5}$x+$\frac{21}{5}$．
當(dāng)x=3時(shí)，y=$-\frac{3}{5}$+$\frac{21}{5}$=$\frac{18}{5}$．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，$\frac{18}{5}$）．
（3）如圖2所示：

∵EF∥BD，
∴當(dāng)EF=BD時(shí)，四邊形EFDB為平行四邊形．
∵當(dāng)x=1時(shí)，y=x+1=1+1=2，
∴B（1，2）．
∴EF=BD=2．
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，a+1），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，-a²+2a+3）．
∴EF=|（-a²+2a+3）-（a+1）|=2．
∴a²-a=0或a²-a-4=0．
解得：a=0或a=1（舍去）或a=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或a=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）或（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、軸對(duì)稱(chēng)路徑最短、平行四邊形的判定定理，明確點(diǎn)點(diǎn)D、M、N′在一條直線上時(shí)，MN+DM有最小值是解答問(wèn)題（2）的關(guān)鍵，求得EF的長(zhǎng)與a的函數(shù)關(guān)系式是解答問(wèn)題（3）的關(guān)鍵．