Question

如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=

7

2

的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0）和B（0，4）．
（1）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形．求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸為直線x=

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2

的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0）和B（0，4），設(shè)所求拋物線的解析式為y=a（x-

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2

）²+b，代入A、B坐標(biāo)求出解析式，然后求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，可得y＜0，即-y＞0，-y表示點(diǎn)E到OA的距離，又由S=2S_△OAE=2×

1

2

×OA•|y|，即可求得平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合圖象，求得自變量x的取值范圍；
（3）由平行四邊形OEAF的面積為24，可得方程：-4x²+28x-24=24，解此方程可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，然后分析OE與AE的關(guān)系，即可判定平行四邊形OEAF是否為菱形．

解答：解：（1）∵對(duì)稱(chēng)軸為直線x=

7

2

，
設(shè)所求拋物線的解析式為y=a（x-

7

2

）²+b，
則由題意可得：

25 4 a+b=0 49 4 a+b=4

，
解得：

a= 2 3 b=- 25 6

，
∴所求拋物線的解析式為：y=

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

=

2

3

x²-

14

3

x+4，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（

7

2

，-

25

6

）；

（2）∵點(diǎn)E（x，y）在拋物線上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合y=

2

3

x²-

14

3

x+4，
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示點(diǎn)E到OA的距離．
∵OA是平行四邊形OEAF的對(duì)角線，
∴S=2S_△OAE=2×

1

2

×OA•|y|=-6y=-6（

2

3

x²-

14

3

x+4）=-4x²+28x-24，
自變量x的取值范圍為：1＜x＜6；

（3）根據(jù)題意得：-4x²+28x-24=24，
解得x₁=3，x₂=4，
∴所求的點(diǎn)E有兩個(gè)，分別為E₁（3，-4），E₂（4，-4），
∵點(diǎn)E₁（3，-4），
∴OE=5，AE=

(3-6)2+(-4-0)2

=5，
∴OE=AE，
∴平行四邊形OEAF是菱形，
∵點(diǎn)E₂（4，-4），
∴OE=4

2

，AE=

(4-6)2+(-4-0)2

=2

5

，
∴不滿足OE=AE，
∴平行四邊形OEAF不是菱形，
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為（3，-4）時(shí)，平行四邊形OEAF為菱形．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定以及正方形的判定等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與函數(shù)思想的應(yīng)用．