Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)O是正方形OABC的一個(gè)頂點(diǎn)，已知點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，7），過點(diǎn)P（a，0）（a＞0）作PE⊥x軸，與邊OA交于點(diǎn)E（異于點(diǎn)O、A），將四邊形ABCE沿CE翻折，點(diǎn)A′、B′分別是點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)，若點(diǎn)A′恰好落在直線PE上，則a的值等于（　�。�

• A． $\frac{5}{4}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 作輔助線，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出OB和正方形的邊長，由正方形的對角線互相垂直平分得：DQ是梯形CMNA的中位線，則CM+AN=2DQ=7，證明△CMO≌△ONA，則ON=CM，所以O(shè)N+AN=7，設(shè)AN=x，則ON=7-x，
根據(jù)勾股定理列方程求出x的值，并取舍，再根據(jù)正方形的邊長求出OP的長．

解答 解：當(dāng)點(diǎn)A′恰好落在直線PE上，如圖所示，
連接OB、AC，交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D、A作x軸的垂線，垂足分別為Q、N，設(shè)CB′交x軸于M，則CM∥QD∥AN，
∵四邊形OABC是正方形，
∴OD=BD，OB⊥AC，
∵O（0，0），B（1，7），
∴D（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），即DQ=$\frac{7}{2}$
由勾股定理得：OB=$\sqrt{{1}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{50}$=5$\sqrt{2}$，
∵△ABO是等腰直角三角形，
∴AB=AO=5，
∵DQ是梯形CMNA的中位線，
∴CM+AN=2DQ=7，
∵∠COA=90°，
∴∠COM+∠AON=90°，
∵∠CMO=90°，
∴∠COM+∠MCO=90°，
∴∠AON=∠MCO，
∵四邊形OABC是正方形，
∴OA=OC，
∵∠CMO=∠ONA=90°，
∴△CMO≌△ONA，
∴ON=CM，
∴ON+AN=7，
設(shè)AN=x，則ON=7-x，
在Rt△AON中，由勾股定理得：x²+（7-x）²=5²，
解得：x=3或4，
當(dāng)x=4時(shí)，CM=3，
此時(shí)點(diǎn)B在第二象限，不符合題意，
∴x=3，
∴OM=3，
∵A′B′=PM=5，
∴OP=a=2，
故選C．

點(diǎn)評 本題是翻折變換問題，考查了翻折的性質(zhì)和正方形及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，首先明確翻折變換（折疊問題）實(shí)質(zhì)上就是軸對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；利用三角形全等和梯形中位線的性質(zhì)，得出直角三角形兩直角邊的和為7，設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程得出結(jié)論．