Question

4．四邊形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F．
（1）求證：△ADE≌△CBF；
（2）若AC與BD相交于點(diǎn)O，求證：AO=CO．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到BF=DE，由垂直的定義得到∠AED=∠CFB=90°，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）如圖，連接AC交BD于O，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADE=∠CBF，由平行線的判定得到AD∥BC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵BE=DF，
∴BE-EF=DF-EF，
即BF=DE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在Rt△ADE與Rt△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{DE=BF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）；

（2）如圖，連接AC交BD于O，
∵Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴∠ADE=∠CBF，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．