Question

5．在直角坐標系中，矩形OABD的邊OA、OC在坐標軸上，B點坐標是（2，1），M、N分別是邊OA、OC上的點．將△OMN沿著直線MN翻折，若點O的對應點是O′．
（1）①若N與C重合，M是OA的中點，則O′的坐標是（1，1）；
②MN∥AC，若翻折后O′在AC上，求MN的解析式．
（2）已知M坐標是（1.5，0），若△MNO′的外接圓與線段BC有公共點，求N的縱坐標n的取值范圍．
（3）若O′落在△OAC內(nèi)部，過O′作平行于x軸的直線交CO于點E，交AC于點F，若O′是EF的中點，求O′橫坐標x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①首先根據(jù)條件找出O′的位置，畫出圖形，發(fā)現(xiàn)四邊形ONO′M為正方形，得出O′的坐標為（1，1）；
②因為翻折后O′在AC上，由對稱性得：OD=O′D，則$\frac{OD}{OO′}$=$\frac{1}{2}$，由MN∥AC得相似，得比例式，求出OM和ON的長，寫出M和N的坐標，最后求MN的解析式；
（2）先從一個公共點入手，即相切時，求出N的縱坐標n，這就是n的最小值，最大值為1，寫出取值；
（3）分兩種情況計算：一種是N與C重合時x最大，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出對應的x的值；另一種是當M與A重合時，x最小，利用勾股定理列方程求出x的值，最后寫出x的取值范圍．

解答 解：（1）①如圖1，∵在直角坐標系中，矩形OABD的邊OA、OC在坐標軸上，B點坐標是（2，1）
∴OC=1，OA=2，
∵若N與C重合，M是OA的中點，
∴ON=OM=1，
由折疊的性質(zhì)得：四邊形ONO′M為正方形，
∴O′的坐標為（1，1）；
②連接OO′交NM于點D，如圖2所示：
∵MN∥AC，
∴△OMN∽△OAC，
∴$\frac{OM}{OA}$=$\frac{ON}{OC}$=$\frac{OD}{OO′}$，
∵O、O′關(guān)于MN對稱，
∴$\frac{OD}{OO′}$=$\frac{1}{2}$，
∴ON=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$，OM=$\frac{1}{2}$OA=1，
∴M（1，0），N（0，$\frac{1}{2}$），
∴MN的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$；
（2）當⊙G與BC相切時，如圖3所示：
設半徑為r，則FG=1-r，MG=r，
∵M坐標是（1.5，0），
∴OM=1.5，MF=$\frac{1}{2}$OM=$\frac{3}{4}$，
∴（1-r）²+（$\frac{3}{4}$）²=r²，
解得：r=$\frac{25}{32}$，
∴GF=1-$\frac{25}{32}$=$\frac{7}{32}$，
∵ON=2FG=2×$\frac{7}{32}$，
∴ON=$\frac{7}{16}$，
則N的縱坐標n的范圍為$\frac{7}{16}$≤n≤1；
（3）連接CO′交OA于K，當O′是EF中點時，K是AO中點，
則OK=OC=1，構(gòu)建直角△OO′L，
①當N與C重合時n最大，由重疊得：CO′=OC=1，則O′K=$\sqrt{2}$-1，
sin45°=$\frac{O′L}{O′K}$，則O′L=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{2}$-1）
得O′L=LK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{2}$-1）=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴OL=1-（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴O′橫坐標x的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②當M與A重合時，x最小，如圖5所示，
則CK的解析式為：y=-x+1，
設O′（x，-x+1），過O′作CO′⊥x軸，
則O′Q=-x+1，AQ=2-x，
Rt△QO′A中，（-x+1）²+（2-x）²=2²
x₁=$\frac{3+\sqrt{7}}{2}$（舍），x₂=$\frac{3-\sqrt{7}}{2}$
∴$\frac{3-\sqrt{7}}{2}$≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題是四邊形的綜合題，將函數(shù)知識與方程、矩形有機地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用矩形的有關(guān)性質(zhì)、定理和平面直角坐標系的有關(guān)知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件；同時此題也考查了圖形變換中翻折的問題，明確翻折前后的兩個圖形全等，與直角坐標系相結(jié)合，找出等量關(guān)系式；另外此題的另一個關(guān)鍵是正確畫出圖形．