Question

13．如圖，AP∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的延長線交AP于D．
（1）思考AE與BE的位置關(guān)系并加以說明；
（2）說明AB=AD+BC；
（3）若BE=6，AE=6.5，求四邊形ABCD的面積？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DAB+∠CBA=180°，再利用角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和解答即可；
（2）此題要通過構(gòu)造全等三角形來求解，延長AE交BC的延長線于M；由AP∥BC，及AE平分∠PAB，可求得∠BAE=∠M，即AB=BM，因此直線證得AD=MC即可；在等腰△ABM中，BE是頂角的平分線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：E是AM的中點(diǎn)，即AE=EM，而PA∥BM，即可證得△ADE≌△MCE，從而得到所求的結(jié)論．
（3）由（2）的全等三角形可知：△ADE、△MCE的面積相等，從而將所求四邊形的面積轉(zhuǎn)化為等腰△ABM的面積，易得AM、BE的值，從而根據(jù)三角形的面積公式求得△ABM的面積，即四邊形ADCB的面積．

解答 （1）解：AE與BE垂直，理由如下：
∵AP∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥EB；
（2）證明：延長AE交BC的延長線于M，
∵AE平分∠PAB，BE平分∠CBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AD∥BC
∴∠1=∠M=∠2，∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∴BM=BA，∠3+∠2=90°，
∴BE⊥AM，
在△ABE和△MBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{BE=BE}\\{∠AEB=∠MEB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△MBE
∴AE=ME，
在△ADE和△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠M}\\{AE=ME}\\{∠5=∠6}\end{array}\right.$；
∴△ADE≌△MCE，
∴AD=CM，
∴AB=BM=BC+AD．
（3）解：由（2）知：△ADE≌△MCE，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABM
又∵AE=ME=6.5，BE=6，
∴${S}_{△ABM}=\frac{1}{2}×13×6=39$，
∴S_{四邊形ABCD}=39．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，同時(shí)還涉及了角平分線定義、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，正確地構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．