Question

13．函數(shù)y=x²+mx+m⁴的圖象被x軸所截弦長的最大值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩交點(diǎn)間距離，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最值．

解答 解：設(shè)拋物線y=x²+mx+m⁴與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，0）（x₂，0），則x₁+x₂=-m，x₁x₂=m⁴，
|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{-4{m}^{4}+{m}^{2}}$=$\sqrt{-4（{m}^{2}-\frac{1}{8}）^{2}+\frac{1}{16}}$，
∴函數(shù)y=x²+mx+m⁴的圖象被x軸所截弦長的最大值為$\sqrt{\frac{1}{16}}$=$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)與一元二次方程的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出|x₁-x₂|是解決問題的關(guān)鍵．