Question

請(qǐng)你認(rèn)真閱讀下面的小探究系列，完成所提出的問題．
（1）如圖1，將角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角頂點(diǎn)E與正方形ABCD的頂點(diǎn)D重合，角尺的一邊交CB于點(diǎn)F，將另一邊交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．求證：EF=EG．
（2）如圖2，移動(dòng)角尺，使角尺的頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對(duì)角線BD上，其余條件不變，請(qǐng)你思考后直接回答EF和EG的數(shù)量關(guān)系：EF

 

EG（用“=”或“≠”填空）
（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識(shí)，完成下題：如圖3，將（2）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一邊經(jīng)過點(diǎn)A（即點(diǎn)G、A重合），其余條件不變，若AB=4，BG=3，求

EF

EG

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）證明△EAG≌△ECF即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，由（1）同理證出△EMG≌△ENF得出結(jié)論；
（3）過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，由（2）得出經(jīng)驗(yàn)，證得結(jié)論則需要通過由平行線得出比例式和兩三角形相似得出比例式來(lái)解決．

解答：解：（1）證明：∵∠AEF+∠AEG=90°，∠AEF+∠CEF=90°，
∴∠AEG=∠CEF，
又∵∠GAE=∠C=90°，EA=EC，
∴△EAG≌△ECF（ASA）
∴EG=EF
（2）EF=EG；
過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，如圖2所示，
則∠MEN=90°，EM=EN，
∴∠GEM=∠FEN，
又因?yàn)椤螮MG=∠ENF=90°，
∴△EMG≌△ENF
∴EF=EG．
故答案為：=．
（3）過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，如圖3所示：
則∠MEN=90°，EM∥BC，EN∥AB，
∴

EM

AD

=

BE

BD

=

EN

CD

，
∴

EM

EN

=

AD

CD

=

3

4

，
又∵∠GEM+∠MEF=90°，∠FEN+∠MEF=90°，
∴∠FEN=∠GEM，
∴Rt△GME∽R(shí)t△FNE，
∴

EF

EG

=

EN

EM

=

4

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和應(yīng)用，相似三角形的判定和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能從第（1）問的解答中獲得解決后兩問的經(jīng)驗(yàn)．