Question

17．拋物線y=ax²+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P為拋物線上，且位于x軸下方．
（1）如圖1，若P（1，-3），B（4，0）．
①求該拋物線的解析式；
②若D是拋物線上一點(diǎn)，滿足∠DPO=∠POB，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖2，已知直線PA，PB與y軸分別交于E、F兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，$\frac{OE+OF}{OC}$是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，可得答案；②根據(jù)平行線的判定，可得PD∥OB，根據(jù)函數(shù)值相等兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得E、F點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）①將P（1，-3），B（4，0）代入y=ax²+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{16a+c=0}\\{a+c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{5}}\\{c=-\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=$\frac{1}{5}$x²-$\frac{16}{5}$；
②如圖1，
當(dāng)點(diǎn)D在OP左側(cè)時(shí)，
由∠DPO=∠POB，得
DP∥OB，
D與P關(guān)于y軸對(duì)稱，P（1，-3），
得D（-1，-3）；
當(dāng)點(diǎn)D在OP右側(cè)時(shí)，延長(zhǎng)PD交x軸于點(diǎn)G．
作PH⊥OB于點(diǎn)H，則OH=1，PH=3．
∵∠DPO=∠POB，
∴PG=OG．
設(shè)OG=x，則PG=x，HG=x-1．
在Rt△PGH中，由x²=（x-1）²+3²，得x=5．
∴點(diǎn)G（5，0）．
∴直線PG的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{15}{4}$
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}}\\{y=\frac{1}{5}{x}^{2}-\frac{16}{5}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{11}{4}}\\{{y}_{2}=-\frac{27}{16}}\end{array}\right.$．
∵P（1，-3），
∴D（$\frac{11}{4}$，-$\frac{27}{16}$）．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-3）或（$\frac{11}{4}$，-$\frac{27}{16}$）．

（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，$\frac{OE+OF}{OC}$是定值，定值為2，理由如下：
作PQ⊥AB于Q點(diǎn)，設(shè)P（m，am²+c），A（-t，0），B（t，0），則at²+c=0，c=-at²．
∵PQ∥OF，
∴$\frac{PQ}{OF}=\frac{BQ}{BO}$，
∴OF=$\frac{PQ•BO}{BQ}$=-$\frac{-（a{m}^{2}+c）t}{t-m}$=$\frac{（a{m}^{2}-a{t}^{2}）t}{m-t}$=amt+at²．
同理OE=-amt+at²．
∴OE+OF=2at²=-2c=2OC．
∴$\frac{OE+OF}{OC}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；②利用函數(shù)值相等的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得出D點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；（2）利用待定系數(shù)法求出E、F點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．