Question

1．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中有一Rt△AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=1，tan∠BAO=3，將此三角形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DOC，拋物線l：y=-x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線l的解析式及頂點(diǎn)G的坐標(biāo)．
（2）①求證：拋物線l經(jīng)過點(diǎn)C．
②分別連接CG，DG，求△GCD的面積．
（3）在第二象限內(nèi)，拋物線上存在異于點(diǎn)G的一點(diǎn)P，使△PCD與△CDG的面積相等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，可求得b、c的值，從而可得到拋物線的解析式，最后依據(jù)配方法可求得點(diǎn)G的坐標(biāo)
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得點(diǎn)D和點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)C的橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得y=0，從而可證明點(diǎn)拋物線l經(jīng)過點(diǎn)C；如圖1所示；過點(diǎn)G作GE⊥y軸，分別求得梯形GEOC、△OCD、△GED的面積，最后依據(jù)S_△CDG=S_梯形GEOC-S_△OCD-S_△GED求解即可；
（3）如圖2所示：過點(diǎn)G作PG∥CD，交拋物線與點(diǎn)P．先求得直線CD的解析式，然后可得到直線PG的一次項(xiàng)系數(shù)，然后由點(diǎn)G的坐標(biāo)可求得PG的解析式，最后將直線PG的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立，最后解得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵OA=1，
∴A（1，0）．
又∵tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=3，
∴OB=3．
∴B（0，3）．
將A（1，0）、B（0，3）代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{-{1}^{2}+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：b=-2，c=3．
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴拋物線的頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-1，4）．
（2）①證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知；OC=OB=3，
∴C（-3，0）．
當(dāng)x=-3時(shí)，y=-（-3）²-2×（-3）+3=-9+6+3=0，
∴點(diǎn)拋物線l經(jīng)過點(diǎn)C．
②如圖1所示；過點(diǎn)G作GE⊥y軸．

∵GE⊥y軸，G（-1，4），
∴GE=1，OE=4．
∴S_梯形GEOC=$\frac{1}{2}$（GE+OC）•OE=$\frac{1}{2}$×（1+3）×4=8．
∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知；OD=OA=1，
∴DE=3．
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC•OD=$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$，S_△GED=$\frac{1}{2}$EG•ED=$\frac{1}{2}$×1×3=$\frac{3}{2}$．
∴S_△CDG=S_梯形GEOC-S_△OCD-S_△GED=8-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$=5．
（3）如圖2所示：過點(diǎn)G作PG∥CD，交拋物線與點(diǎn)P．

∵PG∥CD，
∴△PCD的面積=△GCD的面積．
∵OD=OA=1，
∴D（0，1）．
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b．
∵將點(diǎn)C（-3，0）、D（0，1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{1}{3}$，b=1，
∴直線CD的解析式為y=$\frac{1}{3}x$+1．
∵PG∥CD，
∴直線PG的一次項(xiàng)系數(shù)為$\frac{1}{3}$．
設(shè)PG的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+b₁．
∵將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入得：$-\frac{1}{3}$+b₁=4，解得：b₁=$\frac{13}{3}$，
∴直線PG的解析式為y=$\frac{1}{3}x$+$\frac{13}{3}$．
∵將y=$\frac{1}{3}x$+$\frac{13}{3}$與y=-x²-2x+3聯(lián)立．解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{4}{3}}\\{{y}_{1}=\frac{35}{9}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，
∴P（-$\frac{4}{3}$，$\frac{35}{9}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與解析式的關(guān)系、割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積、以及直線與拋物線的交點(diǎn)問題，求得直線PE的解析式是解題的關(guān)鍵．