Question

10．如圖，?ABCD中，E是BC邊的中點，連接AE，F(xiàn)為CD邊上一點，AE平分∠FAB．
（1）若∠DFA=40°，求∠FAE的度數(shù)；
（2）求證：AF=CD+CF．

Answer 1

分析 （1）由CD∥AB得∠DFA=∠FAB，又∠FAE=$\frac{1}{2}$∠DFA，由此即可解決問題．
（2）連接FE，延長FE交AB的延長線于M，作EH⊥AF于H，EK⊥AM于K，先證明△CEF≌△BEM得CF=BM．EF=EM，再證明△EHF≌△EKM得∠EFH=∠EMK，由此即可解決問題．

解答 （1）解∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，∴∠DFA=∠FAB=40°，
∵∠EAF=∠EAM，
∴∠FAE=$\frac{1}{2}$∠FAB=20°．
（2）證明：連接FE，延長FE交AB的延長線于M，作EH⊥AF于H，EK⊥AM于K，
∵CF∥MB，
∴∠C=∠EBM，
在△CFE和△BME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠EBM}\\{EC=EB}\\{∠CEF=∠BEM}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△BEM，
∴CF=BM．EF=EM，
∵∠EAH=∠EAK，EH⊥AF，EK⊥AM，
∴EH=EK，
在RT△EHF和RT△EKM中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EM}\\{EH=EK}\end{array}\right.$，
∴△EHF≌△EKM，
∴∠EFH=∠EMK，
∴AF=AM=BM+AB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB，
∴AF=CD+CF．

點評 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識，添加輔助線是解決問題的關(guān)鍵，中線延長，利用角平分線作輔助線是常用手段，屬于中考常考題型．