Question

5．如圖，已知點(diǎn)A為（-4，4），AB⊥x軸于點(diǎn)B，AC⊥y軸于點(diǎn)C，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的圖象交AC的中點(diǎn)于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連OD、CE交于點(diǎn)F，CE的延長線交x軸于點(diǎn)G．
（1）求k的值及點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）求證：CG⊥OD；
（3）求△OFG的面積；
（4）求經(jīng)過G、B、F三點(diǎn)的拋物線的解析式，在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使S_△BGP=$\frac{32}{5}$？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得k的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠1=∠2，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠2+∠3=90°，根據(jù)垂線的定義，可得答案；
（3）根據(jù)待定系數(shù)法，可得CG、OD的解析式，根據(jù)解方程組，可得F點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得G點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（4）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)三角形的面積公式，可得F點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)值相等的點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，可得P點(diǎn)．

解答 （1）解：由已知，得四邊形ABCD是正方形，
∴D為AC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)D（-2，4），
∴k=xy=-2×4=-8，當(dāng)x=-4時，y=-$\frac{8}{x}$=2，點(diǎn)E（-4，2）；
（2）證明：如圖，
，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OC=AC，∠A=∠DOC=90°，
∵A為（-4，4），E（-4，2），
∴E為AB的中點(diǎn)．
∵D為AC的中點(diǎn)，
∴CD=AE，
∴Rt△EAC≌R△DCO，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴CG⊥OD；
（3）解：設(shè)直線OD為y=k₁x，得-2k₁=4，即k₁=-2，y=-2x；
設(shè)直線CG的解析式為y=k₂x+4，得-4k₂+4=2，即k₂=$\frac{1}{2}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=\frac{1}{2}x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{8}{5}}\\{y=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，即F點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$），
當(dāng)y=0時，$\frac{1}{2}$x+4=0，即x=-8，即G點(diǎn)坐標(biāo)為（-8，0）
∴S_△OFG=$\frac{1}{2}$OG•y_F$\frac{1}{2}$×8×$\frac{16}{5}$=$\frac{64}{5}$；
（4）解：設(shè)過點(diǎn)G（-8，0）、B（-4，0）、F（-$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$）的拋物線為y=ax²+bx+c（a≠0），
得$\left\{\begin{array}{l}{64a-8b+c=0}\\{16a-4b+c=0}\\{\frac{64}{25}a-\frac{8}{5}b+c=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{5}{24}}\\{b=\frac{5}{2}}\\{c=\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
則y=$\frac{5}{24}$x²+$\frac{5}{2}$x+$\frac{20}{3}$
當(dāng)$\frac{2a}$=-6時，y_最小=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=-$\frac{5}{6}$，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，-$\frac{5}{6}$）．
∴S_△BGP=$\frac{1}{2}$•BG•y_F=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{16}{5}$=$\frac{32}{5}$．
∴點(diǎn)F是滿足條件的一點(diǎn)，△BGP的高是$\frac{16}{5}$，
∴在x軸上方的拋物線上還存在一個點(diǎn)與F關(guān)于直線x=-6對稱的點(diǎn)P（-$\frac{52}{5}$，$\frac{16}{5}$）．
∵$\frac{5}{6}$＜$\frac{16}{5}$，
∴在x軸下方的拋物線上不存在滿足條件的點(diǎn)．
故存在兩個點(diǎn)：P₁（-$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$），P（-$\frac{52}{5}$，$\frac{16}{5}$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出∠1=∠2是解題關(guān)鍵；利用解方程組得出G點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；利用函數(shù)的對稱性得出P與F點(diǎn)是對稱點(diǎn)是解題關(guān)鍵．