Question

如圖，這是一些棋子擺成的正三角形點陣，和“空心方陣”類似，也可以有“空心三角陣”．
（1）如果有一個5層的空心三角陣，最外層每邊有20個棋子，那么一共有多少枚棋子？
（2）如果一個空心三角陣共有294枚棋子，那么它最多有多少層？
（3）如果一個空心三角陣共有294枚棋子，不止一層，那么它的最外層最多有多少枚棋子？

Answer 1

考點：方陣問題

專題：方陣問題

分析：（1）根據(jù)空心三角陣的特點可知，相鄰兩層的點數(shù)相差9個，然后根據(jù)每層點的個數(shù)=每邊的個數(shù)×3-3代入數(shù)據(jù)求出最外層的點數(shù)，然后根據(jù)等差數(shù)列解答即可；
（2）最里層的個數(shù)6開始，要使一個空心三角陣的層數(shù)最多，要從里面第二層6+9=15個計數(shù)，設(shè)一共有n層，公差為9，然后根據(jù)等差數(shù)列解答即可；
（3）要使它的最外層最多，必須層數(shù)最少，因為294是偶數(shù)，所以從外向內(nèi)依次減少的總枚數(shù)必須是偶數(shù)，即9、9+9×2=27、9+9×2+9×3=54，…，其中最少的是54，所以共有4層時，它的最外層最多；然后再進一步解答即可．

解答： 解：（1）20×3-3=57（枚）
57-9×（5-1）=21（枚）
（57+21）×5÷2
=78×5÷2
=195（枚）
答：一共有195枚棋子．

（2）設(shè)一共有n層，
15n+n（n-1）×9÷2=294
3n²+7n-196=0
解得：n=7
答：它最多有7層．

（3）因為294是偶數(shù)，所以從外向內(nèi)依次減少的總枚數(shù)必須是偶數(shù)，即9、9+9×2=27、9+9×2+9×3=54，…，
其中最少的是54，所以共有4層時，它的最外層最多；
所以最外層最多有：（294+54）÷4=87（枚）．
答：它的最外層最多有87枚棋子．

點評：本題考查了三角陣問題和等差數(shù)列問題的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是理解空心三角陣相鄰兩層的點數(shù)相差9個．