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1函數(shù)y＝的定義域是(　　 )

A{x｜0＜x≤)　　　　　　　　 B{x｜2kπ＜x≤2kπ+，k∈Z

C{x｜kπ＜x≤kπ+，k∈Z D{x｜kπ－＜x≤kπ+，k∈Z

解析：由logtanx≥0，得0＜tanx≤1

根據(jù)y＝tanx在x∈(－，)上的圖象可知0＜x≤

結(jié)合周期性，可知原函數(shù)的定義域為：{x｜kπ＜x≤kπ+，k∈Z}

答案：C

2求函數(shù)y＝的定義域

解：∵cotxsinx＝·sinx＝cosx

∴函數(shù)的定義域由確定

解之得2kπ-≤x≤2kπ+，且x≠kπ，(k∈Z)

從而原函數(shù)的定義域為：［2kπ－，2kπ∪(2kπ，2kπ+ (k∈Z)

3如果α、β∈(，π)且tanα＜cotβ，那么必有(　　 )

Aα＜β　　　　　　　　　Bβ＜α

Cα+β＜　　　　　　 Dα+β＞

解：tanα＜cotβtanα＜tan(－β

∵α、β∈(，π)，－β∈(，π)

又∵y＝tanx在(，π)上是增函數(shù)

∴α＜－β　即α+β＜

答案：C

4函數(shù)y＝lg(tanx)的增函數(shù)區(qū)間是(　　 )

A(kπ－，kπ+)(k∈Z)　　　　 B(kπ，kπ+)(k∈Z)

C(2kπ－，2kπ+)(k∈Z)　　 D(kπ，kπ+π)(k∈Z)

解：函數(shù)y＝lg(tanx)為復(fù)合函數(shù)，要求其增函數(shù)區(qū)間則要滿足tanx＞0，且y＝tanx是增函數(shù)的區(qū)間

解之得kπ＜x＜kπ+ (k∈Z)

∴原函數(shù)的增函數(shù)區(qū)間為：(kπ，kπ+)(k∈Z)

答案：B

5試討論函數(shù)y＝log_atanx的單調(diào)性

解：y＝log_atanx可視為y＝log_au與u＝tanx復(fù)合而成的，復(fù)合的條件為tanx＞0，

即x∈(kπ，kπ+)(k∈Z)

①當(dāng)a＞1時，y＝log_au在u∈(0，+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(kπ，kπ+)時，u＝tanx是單調(diào)遞增的，

∴y＝log_atanx在x∈(kπ，kπ+)(k∈Z)上是單調(diào)增函數(shù)

②當(dāng)0＜a＜1時，y＝log_au在u∈(0，+∞)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(kπ，kπ+)時，u＝tanx是單調(diào)遞增的

∴y＝log_atanx在x∈(kπ，kπ+)(k∈Z)上是單調(diào)減函數(shù)

故當(dāng)a＞1時，y＝log_atanx在x∈(kπ，kπ+)(k∈Z)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0＜a＜1時，y＝log_atanx在x∈(kπ，kπ+)(k∈Z)上單調(diào)遞減；

試題詳情

3．求函數(shù)y＝tan2x的定義域、值域和周期、并作出它在區(qū)間［－π，π］內(nèi)的圖象

解：(1)要使函數(shù)y＝tan2x有意義，必須且只須2x≠+kπ，k∈Z

即x≠+，k∈Z

∴函數(shù)y＝tan2x的定義域為{x∈R｜，x≠，k∈Z}

(2)設(shè)t＝2x，由x≠，k∈Z}知t≠+kπ，k∈Z

∴y＝tant的值域為(－∞，+∞)

即y＝tan2x的值域為(－∞，+∞)

(3)由tan2(x+)＝tan(2x+π)＝tan2x

∴y＝tan2x的周期為．

(4)函數(shù)y＝tan2x在區(qū)間［－π，π］的圖象如圖

試題詳情

2．已知f(x)=tanx，對于x₁，x₂∈(0，)且x₁≠x₂試證

證明：∵0＜x₁＜　 0＜x₂＜

∴－＜x₁－x₂＜且x₁≠x₂　 ∴cos(x₁－x₂)＜1

即1+cos(x₁+x₂)＞2cosx₁cosx₂　，

說明：通過本題的證明可知函數(shù)y＝tanx的圖象，當(dāng)x∈(0，)時是下凸的，同樣可以證明函數(shù)y＝tanx的圖象當(dāng)x∈(－，0)時是上凸的?

試題詳情

1．利用單位圓中的三角函數(shù)線：

(1)證明當(dāng)0＜x＜時tanx＞x，(2)解方程tanx＝x，(－＜x＜)．

(1)證明：如圖x＝AP，角x的正切線為AT

即tanx＝AT，由S_扇形_AOP＜S_△O_A_T?

即

∴x＜tanx(0＜x＜)

又由于y＝x與y＝tanx為奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜時，x＜tanx

(2)解：由(1)結(jié)論，得∴當(dāng)－＜x＜0時x＞tanx

又x＝0是方程x＝tanx的解

因此方程x＝tanx在(－，)內(nèi)有惟一解即?x＝0?

試題詳情

例1 用圖象解不等式

解：利用圖象知，所求解為

亦可利用單位圓求解

例2求函數(shù)的定義域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、單調(diào)性

解：由得，

所求定義域為　

值域為R，周期，是非奇非偶函數(shù)

在區(qū)間上是增函數(shù)

例3作出函數(shù)且的簡圖

解：

例4求下列函數(shù)的定義域

1、　　　 2、

解：1、

例5 已知函數(shù)y=sin2x+cos2x-2　

(1)用“五點法”作出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象　

(2)求這個函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間

(3)求函數(shù)圖象的對稱軸方程　

(4)說明圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的　

解：y=sin2x+cos2x-2=2sin(2x+)-2

(1)列表　

x
	0				2
	-2	0	-2	-4	-2

其圖象如圖示　

(2)=π　

由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為　

［-π+kπ,+kπ］,k∈Z　

由+2kπ≤2x+≤π+2kπ，知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為　

［+kπ,π+kπ］,k∈Z　

(3)由2x+=+kπ得x=+π　

∴函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=+π,(k∈Z)　

(4)把函數(shù)y₁=sinx的圖象上所有點向左平移個單位，得到函數(shù)y₂=sin(x+)的圖象；　

再把y₂圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y₃=sin (2x+)的圖象；　

再把y₃圖象上各點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，得到y₄=2sin (2x+)的圖象；　

最后把y₄圖象上所有點向下平移2個單位，得到函數(shù)y=2sin (2x+)-2的圖象　

評注：(1)求函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、最值等問題，一般都要化成一個角的三角函數(shù)形式　

(2)對于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的對稱軸，實際上就是使函數(shù)y取得最大值或最小值時的x值　

(3)第(4)問的變換方法不惟一，但必須特別注意平移變換與伸縮變換的先后順序！

例6 如圖，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B　

(1)求這段時間的最大溫差；　

(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式　

解：(1)由圖可知，這段時間的最大溫差是30-10=20(℃)　

(2)圖中從6時到14時的圖象是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B的半個周期的圖象　

∴·=14-6ω=　

又由圖可得

∴y=10sin(x+φ)+20　

將x=6，y=10代入上式得：sin(π+φ)=-1　

∴

故所求的解析式為　

y=10sin(x+π)+20，x∈［6,14］　

評注：①本題以應(yīng)用題的形式考查熱點題型，設(shè)計新穎別致，匠心獨具　

②此類“由已知條件或圖象求函數(shù)的解析式”的題目，實質(zhì)上是用“待定系數(shù)法”確定A，ω，φ和B，它們的計算方法為：　

ω與周期有關(guān)，可通過T=求得，而關(guān)鍵一步在于如何確定φ？通常是將圖象上已知點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得到一個關(guān)于φ的簡單三角方程，但φ到底取何值值得考慮若得方程sinφ=，那么φ是取，還是取π呢？這就要看所代入的點是在上升的曲線上，還是在下降的曲線上，若在上升的曲線上，φ就取，否則就取π，而不能同時取兩個值

例7 a為何值時，方程sin²x+2sinxcosx-2cos²x=a有實數(shù)解　

分析：所給方程的特征較明顯，即是關(guān)于sinx與cosx的奇式方程，通過變形就可化為以tanx為變元的一元二次方程，從而據(jù)判別式進(jìn)行求解　

解法一：原方程可化為：　

sin²x+2sinxcosx-2cos²x=a(sin²x+cos²x)　

即(1-a)sin²x+2sinxcosx-(2+a)cos²x=0　

(1)當(dāng)a≠1時，∵cosx≠0,　

∴方程兩邊同除以cos²x得(1-a)tan²x+2tanx-(2+a)=0　

∵tanx∈R∴Δ≥0即4+4(1-a)(2+a)≥0　

即a²+a-3≤0又a≠1,　

∴a∈［,1］∪(1,］　

(2)當(dāng)a=1時，原方程化為2sinxcosx-3cos²x=0,　

此方程有實根　

綜合(1)、(2)可得a∈［,］時，原方程有實數(shù)根　

解法二：(用函數(shù)觀點)　

當(dāng)實數(shù)a取函數(shù)y=sin²x+2sinxcosx-2cos²x值域中的數(shù)值時，原方程有實根因此，求a的范圍，實質(zhì)上就是求上述函數(shù)的值域　

∵y=sin²x+2sinxcosx-2cos²x　 =1+sin2x-3cos²x　

=1+sin2x-(1+cos2x)　 =sin2x-cos2x-

=sin(2x-φ)- 　其中

∴y∈［］　

即a∈［］時，原方程有實數(shù)根　

評注：解法一是常規(guī)解法，解法二利用了變換的觀點通過函數(shù)思想來解方程函數(shù)與方程是數(shù)學(xué)中兩個重要的概念，在解決數(shù)學(xué)問題時，如能靈活運用，將使解答具有創(chuàng)造性

例8 某體育館擬用運動場的邊角地建一個矩形的健身室(如圖所示)，ABCD是一塊邊長為50 m的正方形地皮，扇形CEF是運動場的一部分，其半徑為40 m，矩形AGHM就是擬建的健身室，其中G、M分別在AB和AD上，H在　上設(shè)矩形AGHM的面積為S，∠HCF=θ，請將S表示為θ的函數(shù)，并指出當(dāng)點H在　　的何處時，該健身室的面積最大，最大面積是多少？　