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11.(2009安徽卷文)(本小題滿分12分)

　 某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A，將其與原有的一個(gè)優(yōu)良品種B進(jìn)行對(duì)照

試驗(yàn)，兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：.　 　　　

品種A:357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，414，

　　 415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，451，454

品種B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，395，397

　　　　 397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430

(Ⅰ)完成所附的莖葉圖

(Ⅱ)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點(diǎn)？.　 　　　

(Ⅲ)通過觀察莖葉圖，對(duì)品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫出統(tǒng)計(jì)結(jié)論。

[思路]由統(tǒng)計(jì)知識(shí)可求出A、B兩種品種的小麥穩(wěn)定性大小并畫出莖葉圖，用莖葉圖處理數(shù)據(jù)，看其分布就比較明了。.　 　　　

[解析](1)莖葉圖如圖所示

(2)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)不僅可以看出數(shù)據(jù)的分布狀況,而且可以看出每組中的具體數(shù)據(jù).

(3)通過觀察莖葉圖，可以發(fā)現(xiàn)品種A的平均每畝產(chǎn)量為411.1千克，品種B的平均畝產(chǎn)量為397.8千克.由此可知,品種A的平均畝產(chǎn)量比品種B的平均畝產(chǎn)量高.但品種A的畝產(chǎn)量不夠穩(wěn)定，而品種B的畝產(chǎn)量比較集中D平均產(chǎn)量附近.

10.(2009安徽卷理)(本小題滿分12分)

　　 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過疫區(qū).B肯定是受A感染的.對(duì)于C，因?yàn)殡y以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是.在這種假定之下，B、C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個(gè)隨機(jī)變量.寫出X的分布列(不要求寫出計(jì)算過程),并求X的均值(即數(shù)學(xué)期望).

本小題主要考查古典概型及其概率計(jì)算，考查取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列和均值的概念，通過設(shè)置密切貼近現(xiàn)實(shí)生活的情境，考查概率思想的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值。本小題滿分12分。

解：隨機(jī)變量X的分布列是

X	1	2	3
P

X的均值為

附：X的分布列的一種求法

共有如下6種不同的可能情形，每種情形發(fā)生的概率都是：

①	②	③	④	⑤	⑥
A-B-C-D	A-B-C └D	A-B-C └D	A-B-D └C	A-C-D └B

在情形①和②之下，A直接感染了一個(gè)人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了兩個(gè)人；在情形⑥之下，A直接感染了三個(gè)人。

9.(2009全國(guó)卷Ⅰ理)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)

　 甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束，假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，已知前2局中，甲、乙各勝1局。

　(I)求甲獲得這次比賽勝利的概率；

　(II)設(shè)表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求得分布列及數(shù)學(xué)期望。

分析：本題較常規(guī)，比08年的概率統(tǒng)計(jì)題要容易。

需提醒的是：認(rèn)真審題是前提，部分考生由于考慮了前兩局的概率而導(dǎo)致失分，這是很可惜的，主要原因在于沒讀懂題。

另外，還要注意表述，這也是考生較薄弱的環(huán)節(jié)。

8.(2009全國(guó)卷Ⅱ文)(本小題滿分12分)

某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有10名工人，其中有6名女工人�，F(xiàn)采用分層抽樣(層內(nèi)采用不放回簡(jiǎn)單隨即抽樣)從甲、乙兩組中共抽取4名工人進(jìn)行技術(shù)考核。

(Ⅰ)求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；

(Ⅱ)求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

(Ⅲ)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。.　 　

解析：本題考查概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，要求有正確理解分層抽樣的方法及利用分類原理處理事件概率的能力，第一問直接利用分層統(tǒng)計(jì)原理即可得人數(shù)，第二問注意要用組合公式得出概率，第三問關(guān)鍵是理解清楚題意以及恰有2名男工人的具體含義，從而正確分類求概率。

解：(I)由于甲、乙兩組各有10名工人，根據(jù)分層抽樣原理，要從甲、乙兩組中共抽取4名工人進(jìn)行技術(shù)考核，則從每組各抽取2名工人。

(II)記表示事件：從甲組抽取的工人中恰有1名女工人，則

(III)表示事件：從甲組抽取的2名工人中恰有名男工人，

　　　 表示事件：從乙組抽取的2名工人中恰有名男工人，

　　　 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。.　 　

　　　 與獨(dú)立， ，且

故　

7.(2009山東卷文)(本小題滿分12分)

　 一汽車廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào),某月的產(chǎn)量如下表(單位:輛):

按類型分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛.

(1)　　　 求z的值. 　　　

(2)　　　 用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本.將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率;

(3)　　　 用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下:9.4,　 8.6, 9.2,　 9.6,　 8.7,　 9.3,　 9.0,　 8.2.把這8輛轎車的得分看作一個(gè)總體,從中任取一個(gè)數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過0.5的概率.

解: (1).設(shè)該廠本月生產(chǎn)轎車為n輛,由題意得,,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400

(2) 設(shè)所抽樣本中有m輛舒適型轎車,因?yàn)橛梅謱映闃拥姆椒ㄔ贑類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本,所以,解得m=2也就是抽取了2輛舒適型轎車,3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車,分別記作S₁,S₂;B_1,B₂,B₃,則從中任取2輛的所有基本事件為(S₁, B₁), (S₁, B₂) , (S₁, B₃) (S₂ ,B₁), (S₂ ,B₂), (S₂ ,B₃),( (S₁, S₂),(B₁ ,B₂), (B₂ ,B₃) ,(B₁ ,B₃)共10個(gè),其中至少有1輛舒適型轎車的基本事件有7個(gè)基本事件: (S₁, B₁), (S₁, B₂) , (S₁, B₃) (S₂ ,B₁), (S₂ ,B₂), (S₂ ,B₃),( (S₁, S₂),所以從中任取2輛,至少有1輛舒適型轎車的概率為.

(3)樣本的平均數(shù)為,

那么與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過0.5的數(shù)為9.4,　 8.6,　 9.2,　 8.7,　 9.3,　 9.0這6個(gè)數(shù),總的個(gè)數(shù)為8,所以該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過0.5的概率為.

[命題立意]:本題為概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)內(nèi)容,涉及到分層抽樣以及古典概型求事件的概率問題.要讀懂題意,分清類型,列出基本事件,查清個(gè)數(shù).,利用公式解答.

6.(2009山東卷理)(本小題滿分12分)

　　 在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進(jìn)一球得3分，在B處每投進(jìn)一球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次，某同學(xué)在A處的命中率q為0.25，在B處的命中率為q，該同學(xué)選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為

	0	2	3	4	5
p	0.03	P1	P2	P3	P4

(1)　　　 求q的值； 　　

(2)　　　 求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E;

(3)　　　 試比較該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小。

解:(1)設(shè)該同學(xué)在A處投中為事件A,在B處投中為事件B,則事件A,B相互獨(dú)立,且P(A)=0.25,, P(B)= q,.

根據(jù)分布列知: =0時(shí)=0.03,所以，q=0.8.

(2)當(dāng)=2時(shí), P₁= 　　　

=0.75 q( )×2=1.5 q( )=0.24

當(dāng)=3時(shí), P₂ ==0.01,

當(dāng)=4時(shí), P₃==0.48,

當(dāng)=5時(shí), P₄=

=0.24

所以隨機(jī)變量的分布列為

	0	2	3	4	5
p	0.03	0.24	0.01	0.48	0.24

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

(3)該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分的概率為

;

該同學(xué)選擇(1)中方式投籃得分超過3分的概率為0.48+0.24=0.72.

由此看來該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分的概率大.

[命題立意]:本題主要考查了互斥事件的概率,相互獨(dú)立事件的概率和數(shù)學(xué)期望,以及運(yùn)用概率知識(shí)解決問題的能力.

5.(2009北京卷理)(本小題共13分)

某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2min.

(Ⅰ)求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率；

(Ⅱ)求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間的分布列及期望.

[解析]本題主要考查隨機(jī)事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件等概率知識(shí)、考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

(Ⅰ)設(shè)這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈為事件A，因?yàn)槭录嗀等于事件“這名學(xué)生在第一和第二個(gè)路口沒有遇到紅燈，在第三個(gè)路口遇到紅燈”，所以事件A的概率為.

(Ⅱ)由題意，可得可能取的值為0，2，4，6，8(單位：min).

事件“”等價(jià)于事件“該學(xué)生在路上遇到次紅燈”(0，1，2，3，4)，

∴，

∴即的分布列是

	0	2	4	6	8

∴的期望是.

4.(2009北京卷文)(本小題共13分)

某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2min.

(Ⅰ)求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率；

(Ⅱ)這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間至多是4min的概率.　　　　　　　

[解析]本題主要考查隨機(jī)事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件等概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

(Ⅰ)設(shè)這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈為事件A，因?yàn)槭录嗀等于事件“這名學(xué)生在第一和第二個(gè)路口沒有遇到紅燈，在第三個(gè)路口遇到紅燈”，所以事件A的概率為.

(Ⅱ)設(shè)這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間至多是4min為事件B，這名學(xué)生在上學(xué)路上遇到次紅燈的事件.

　　　 則由題意，得，

.

由于事件B等價(jià)于“這名學(xué)生在上學(xué)路上至多遇到兩次紅燈”，

∴事件B的概率為.

3.(2009浙江卷理)(本題滿分14分)在這個(gè)自然數(shù)中，任取個(gè)數(shù)．

　 (I)求這個(gè)數(shù)中恰有個(gè)是偶數(shù)的概率；

　 (II)設(shè)為這個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)(例如：若取出的數(shù)為，則有兩組相鄰的數(shù)

和，此時(shí)的值是)．求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

解析：(I)記“這3個(gè)數(shù)恰有一個(gè)是偶數(shù)”為事件A，則；.　 　

(II)隨機(jī)變量的取值為的分布列為

	0	1	2
P

所以的數(shù)學(xué)期望為 .　 　

2.(2009廣東卷理)(本小題滿分12分)

根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)API(為整數(shù))的不同，可將空氣質(zhì)量分級(jí)如下表：

對(duì)某城市一年(365天)的空氣質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，獲得的API數(shù)據(jù)按照區(qū)間，，，，，進(jìn)行分組，得到頻率分布直方圖如圖5. 　　　　　　　　　　　　　

(1)求直方圖中的值；

(2)計(jì)算一年中空氣質(zhì)量分別為良和輕微污染的天數(shù)；

(3)求該城市某一周至少有2天的空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率.

(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示．已知，， ，)

解：(1)由圖可知，解得；

(2)；

(3)該城市一年中每天空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率為，則空氣質(zhì)量不為良且不為輕微污染的概率為，一周至少有兩天空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率為.