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5．證明兩平面平行的方法：

(1)利用定義證明。利用反證法，假設(shè)兩平面不平行，則它們必相交，再導(dǎo)出矛盾。

(2)判定定理：一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行，這個定理可簡記為線面平行則面面平行。用符號表示是：a∩b，a α，b α，a∥β，b∥β，則α∥β。

(3)垂直于同一直線的兩個平面平行。用符號表示是：a⊥α，a⊥β則α∥β。

(4)平行于同一個平面的兩個平面平行。

兩個平面平行的性質(zhì)有五條：

(1)兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個平面，這個定理可簡記為：“面面平行，則線面平行”。用符號表示是：α∥β，a α，則a∥β。

(2)如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行，這個定理可簡記為：“面面平行，則線線平行”。用符號表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，則a∥b。

(3)一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面,它也垂直于另一個平面。這個定理可用于證線面垂直。用符號表示是：α∥β，a⊥α，則a⊥β。

(4)夾在兩個平行平面間的平行線段相等。

(5)過平面外一點只有一個平面與已知平面平行。

4．直線和平面相互平行

證明方法：1證明直線和這個平面內(nèi)的一條直線相互平行；2證明這條直線的方向量和這個平面內(nèi)的一個向量相互平行；3證明這條直線的方向量和這個平面的法向量相互垂直。

3．注意下面的轉(zhuǎn)化關(guān)系：

2．注意立體幾何問題向平面幾何問題的轉(zhuǎn)化，即立幾問題平面化。

在掌握直線與平面的位置關(guān)系(包括直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系)的基礎(chǔ)上，研究有關(guān)平行的判定依據(jù)(定義、公理和定理)、判定方法及有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用；在有關(guān)問題的解決過程中，進一步了解和掌握相關(guān)公理、定理的內(nèi)容和功能，并探索立體幾何中論證問題的規(guī)律；在有關(guān)問題的分析與解決的過程中提高邏輯思維能力、空間想象能力及化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．

1．用類比的思想去認識面的垂直與平行關(guān)系，注意垂直與平行間的聯(lián)系。

題型1：共線、共點和共面問題

例1．(1)如圖所示，平面ABD平面BCD ＝直線BD ，M 、N 、P 、Q 分別為線段AB 、BC 、CD 、DA 上的點，四邊形MNPQ 是以PN 、QM 為腰的梯形。

試證明三直線BD 、MQ 、NP 共點。

證明：∵　四邊形MNPQ 是梯形，且MQ 、NP 是腰，

∴直線MQ 、NP 必相交于某一點O 。

∵　O 直線MQ ；直線MQ 平面ABD ，

∴　O 平面ABD。

同理，O 平面BCD ，又兩平面ABD 、BCD 的交線為BD ，

故由公理二知，O 直線BD ，從而三直線BD 、MQ 、NP 共點。

點評：由已知條件，直線MQ 、NP 必相交于一點O ，因此，問題轉(zhuǎn)化為求證點O 在直線BD 上，由公理二，就是要尋找兩個平面，使直線BD 是這兩個平面的交線，同時點O 是這兩個平面的公共點即可．“三點共線”及“三線共點”的問題都可以轉(zhuǎn)化為證明“點在直線上”的問題。

(2)如圖所示，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，G，H，F．求證：E，F，G，H四點必定共線。

證明：∵AB∥CD，

∴AB，CD確定一個平面β．

又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β，

即E為平面α與β的一個公共點。

同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點．

∵兩個平面有公共點，它們有且只有一條通過公共點的公共直線，

∴E，F，G，H四點必定共線。

點評：在立體幾何的問題中，證明若干點共線時，常運用公理2，即先證明這些點都是某二平面的公共點，而后得出這些點都在二平面的交線上的結(jié)論。

例2．已知：a，b，c，d是不共點且兩兩相交的四條直線，求證：a，b，c，d共面。

證明：1^o若當(dāng)四條直線中有三條相交于一點，不妨設(shè)a，b，c相交于一點A，

但AÏd，如圖1所示：

∴直線d和A確定一個平面α。

又設(shè)直線d與a，b，c分別相交于E，F，G，

則A，E，F，G∈α。

∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα。

同理可證bα，cα。

∴a，b，c，d在同一平面α內(nèi)。

2^o當(dāng)四條直線中任何三條都不共點時，

如圖2所示：

∵這四條直線兩兩相交，則設(shè)相交直線a，b確定一個平面α。

設(shè)直線c與a，b分別交于點H，K，則H，K∈α。

又 H，K∈c，∴c,則cα。

同理可證dα。

∴a，b，c，d四條直線在同一平面α內(nèi)．

點評：證明若干條線(或若干個點)共面的一般步驟是：首先根據(jù)公理3或推論，由題給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再根據(jù)公理1證明其余的線(或點)均在這個平面內(nèi)。本題最容易忽視“三線共點”這一種情況。因此，在分析題意時，應(yīng)仔細推敲問題中每一句話的含義。

題型2：異面直線的判定與應(yīng)用

例3．已知：如圖所示，a b ＝a ，b b ，a b ＝A ，c a ，c ∥a 。求證直線b 、c 為異面直線。

證法一：假設(shè)b 、c 共面于g ．由A a ，a ∥c 知，A c ，而a b ＝A，a b ＝a ，

∴　 A g ，A a。

又c a ，∴　 g 、a 都經(jīng)過直線c 及其外的一點A，

∴　 g 與a 重合，于是a g ，又b b。

又g 、b 都經(jīng)過兩相交直線a 、b ，從而g 、b 重合。

∴　 a 、b 、g 為同一平面，這與a b ＝a 矛盾。

∴　 b 、c 為異面直線．

證法二：假設(shè)b 、c 共面，則b ，c 相交或平行。

(1)若b ∥c ，又a ∥c ，則由公理4知a ∥b ，這與a b ＝A 矛盾。

(2)若b c ＝P ，已知b b ，c a ，則P 是a 、b 的公共點，由公理2，P a ，又b c ＝P ，即P c ，故a c ＝P ，這與a ∥c 矛盾。

綜合(1)、(2)可知，b 、c 為異面直線。

證法三：∵　 a b ＝a ，a b ＝A ，∴　 A a 。

∵　 a ∥c ，∴　 A c ，

在直線b 上任取一點P(P 異于A)，則P a(否則b a ，又a a ，則a 、b 都經(jīng)過兩相交直線a 、b ，則a 、b 重合，與a b ＝a 矛盾)。

又c a ，于是根據(jù)“過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線”知，b 、c 為異面直線。

點評：證明兩直線為異面直線的思路主要有兩條：一是利用反證法；二是利用結(jié)論“過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線．。異面直線又有兩條途徑：其一是直接假設(shè)b 、c 共面而產(chǎn)生矛盾；其二是假設(shè)b 、c 平行與相交；分別產(chǎn)生矛盾。判定直線異面，若為解答題，則用得最多的是證法一、二的思路；若為選擇或填空題，則往往都是用證法三的思路。用反證法證題，一般可歸納為四個步驟：(1)否定結(jié)論；(2)進行推理；(3)導(dǎo)出矛盾；(4)肯定結(jié)論．

宜用反證法證明的命題往往是(1)基本定理或某一知識系統(tǒng)的初始階段的命題(如立體幾何中的線面、面面平行的判定定量的證明等)；(2)肯定或否定型的命題(如結(jié)論中出現(xiàn)“必有”、“必不存在”等一類命題)；(3)唯一型的命題(如“圖形唯一”、“方程解唯一”等一類命題)；(4)正面情況較為繁多，而結(jié)論的反面卻只有一兩種情況的一類命題；(5)結(jié)論中出現(xiàn)“至多”、“不多于”等一類命題。

例4．(1)已知異面直線a,b所成的角為70，則過空間一定點O，與兩條異面直線a,b都成60角的直線有(　 )條

A．1　　　　　　　 B．2　　　　　　 C．3　　　　　　　　　 D．4

(2)異面直線a,b所成的角為,空間中有一定點O，過點O有3條直線與a,b所成角都是60，則的取值可能是(　 )

A．30　　　　　　 B．50　　　　　　 C．60　　　　　　　 D．90

解析：(1)過空間一點O分別作∥a,∥b。

將兩對對頂角的平分線繞O點分別在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，總能得到與 都成60角的直線。故過點 O與a,b都成60角的直線有4條，從而選D。

(2)過點O分別作∥a、∥b，則過點O有三條直線與a,b所成角都為60，等價于過點O有三條直線與所成角都為60，其中一條正是角的平分線。從而可得選項為C。

點評：該題以學(xué)生對異面直線所成的角會適當(dāng)轉(zhuǎn)化，較好的考察了空間想象能力。

題型3：線線平行的判定與性質(zhì)

例5．(2003上海春，13)關(guān)于直線a、b、l及平面M、N，下列命題中正確的是(　　 )

A．若a∥M，b∥M，則a∥b

B．若a∥M，b⊥a，則b⊥M

C．若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，則l⊥M

D．若a⊥M，a∥N，則M⊥N

解析：解析：A選項中，若a∥M，b∥M，則有a∥b或a與b相交或a與b異面。B選項中，b可能在M內(nèi)，b可能與M平行，b可能與M相交.C選項中須增加a與b相交，則l⊥M。D選項證明如下：∵a∥N，過a作平面α與N交于c，則c∥a，∴c⊥M.故M⊥N。答案D。

點評：本題考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的基本性質(zhì)。

例6．兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求證：MN∥平面BCE。

證法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，則MP∥AB，NQ∥AB。

∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，

∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°

∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ，故四邊形MPQN為平行四邊形

∴MN∥PQ

∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，

∴MN∥平面BCE。

證法二：如圖過M作MH⊥AB于H，則MH∥BC，

∴

連結(jié)NH，由BF=AC，FN=AM，得

∴ NH//AF//BE

由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE

∴MN∥平面BCE。

題型4：線面平行的判定與性質(zhì)

例7．(2006四川理19 )如圖，在長方體中，分別是的中點，分別是的中點，，求證：面。

證明：取的中點，連結(jié)；

∵分別為的中點

∵

∴面，面

∴面面　 ∴面

點評：主要考察長方體的概念、直線和平面、平面和平面的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，主要考察線面平行的判定定理。

例8．(1999全國文22，理21)如圖所示，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，點E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B，且面EAC與底面ABCD所成的角為45°，AB＝a.

(Ⅰ)求截面EAC的面積；

(Ⅱ)求異面直線A₁B₁與AC之間的距離；

解：(Ⅰ)如圖所示，連結(jié)DB交AC于O，連結(jié)EO。

∵底面ABCD是正方形，

∴DO⊥AC　

又∵ED⊥底面AC，　

∴EO⊥AC

∴∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角，

∴∠EOD＝45°

DO＝a，AC＝a，EO＝a·sec45°＝a，

故S_△EAC=EO·AC＝a²．

(Ⅱ)由題設(shè)ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，得A₁A⊥底面AC，A₁A⊥AC．

又A₁A⊥A₁B₁，

∴A₁A是異面直線A₁B₁與AC間的公垂線.

∵D₁B∥面EAC，且面D₁BD與面EAC交線為EO，

∴D₁B∥EO，

又O是DB的中點

∴E是D₁D的中點，D₁B＝2EO＝2a.

∴D₁D＝a

異面直線A₁B₁與AC間的距離為a.

題型5：面面平行的判定與性質(zhì)

例9．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱長為a。證明：平面ACD₁ ∥平面A₁C₁B 。

證明：如圖，∵　 A₁BCD₁ 是矩形，A₁B ∥D₁C 。

又D₁C 平面D₁CA ，A₁B 平面D₁CA ，

∴　 A₁B ∥平面D₁CA。

同理A₁C₁ ∥平面D₁CA ，又A₁C₁ A₁B ＝A₁ ，∴　 平面D₁CA ∥平面BA₁C₁ ．

點評：證明面面平行，關(guān)鍵在于證明A₁C₁ 與A₁B 兩相交直線分別與平面ACD₁ 平行。

例10．P是△ABC所在平面外一點，A′、B′、C′分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心。

(1)求證：平面A′B′C′∥平面ABC；

(2)S_{△A′B′C′}∶S_△ABC的值。

解析：(1)取AB、BC的中點M、N，

則

∴A′C′∥MN?A′C′∥平面ABC。

同理A′B′∥面ABC，

∴△A′B′C′∥面ABC.

(2)A′C′=MN=·AC=AC

，

同理

∴

5．兩個平面的位置關(guān)系有兩種：兩平面相交(有一條公共直線)、兩平面平行(沒有公共點)

(1)兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行。

定理的模式：

推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行。

推論模式：

(2)兩個平面平行的性質(zhì)(1)如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面；(2)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

4．直線和平面的位置關(guān)系

(1)直線在平面內(nèi)(無數(shù)個公共點)；

(2)直線和平面相交(有且只有一個公共點)；

(3)直線和平面平行(沒有公共點)--用兩分法進行兩次分類。

它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為，，。

線面平行的判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。推理模式：．

線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。推理模式：．

3．空間直線:

(1)空間兩條直線的位置關(guān)系：

相交直線--有且僅有一個公共點；

　　　 平行直線--在同一平面內(nèi)，沒有公共點；

異面直線--不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。相交直線和平行直線也稱為共面直線。

異面直線的畫法常用的有下列三種：

(2)平行直線：

在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這個結(jié)論在空間也是成立的。即公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

(3)異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線。推理模式：與a是異面直線。

2．三公理三推論:

公理1：若一條直線上有兩個點在一個平面內(nèi)，則該直線上所有的點都在這個平面內(nèi)：

A,B,A,B

公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線。

公理3：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面。

推論一：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點,有且只有一個平面。

推論二：經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面。

推論三：經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面。