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例1.已知定點P(6.4)與定直線l1:y=4x.過P點的直線l與l­1交于第一象限Q點.與x軸正半軸交于點M.求使△OQM面積最小的直線l方程. 分析: 直線l是過點P的旋轉(zhuǎn)直線.因此是選其斜率k作為參數(shù).還是選擇點Q作為參數(shù)是本題關(guān)鍵. 通過比較可以發(fā)現(xiàn).選k作為參數(shù).運算量稍大.因此選用點參數(shù). 設(shè)Q(x0.4x0).M(m.0) ∵ Q.P.M共線 ∴ kPQ=kPM ∴ 解之得: ∵ x0>0.m>0 ∴ x0-1>0 ∴ 令x0-1=t.則t>0 ≥40 當且僅當t=1.x0=11時.等號成立 此時Q.直線l:x+y-10=0 評注:本題通過引入?yún)?shù).建立了關(guān)于目標函數(shù)S△OQM的函數(shù)關(guān)系式.再由基本不等式再此目標函數(shù)的最值.要學會選擇適當參數(shù).在解析幾何中.斜率k.截距b.角度θ.點的坐標都是常用參數(shù).特別是點參數(shù). 例2.已知△ABC中.A.求: (1)BC邊上的高所在直線方程,∠A平分線所在直線方程. 分析: (1)∵ kBC=5 ∴ BC邊上的高AD所在直線斜率k= ∴ AD所在直線方程y+1=(x-2) 即x+5y+3=0 .kAB=2 ∴ AB中垂線方程為x+2y-5=0 (3)設(shè)∠A平分線為AE.斜率為k.則直線AC到AE的角等于AE到AB的角. ∵ kAC=-1.kAB=2 ∴ ∴ k2+6k-1=0 ∴ k=-3-(舍).k=-3+ ∴ AE所在直線方程為(-3)x-y-2+5=0 評注:在求角A平分線時.必須結(jié)合圖形對斜率k進行取舍.一般地涉及到角平分線這類問題時.都要對兩解進行取舍.也可用軌跡思想求AE所在直線方程.設(shè)P(x.y)為直線AE上任一點.則P到AB.AC距離相等.得.化簡即可.還可注意到.AB與AC關(guān)于AE對稱. 例3..B(3.2).圓心在直線2x-y-3=0上圓方程, 關(guān)于直線x+2y=0的對稱點仍在這個圓上.且與直線x-y+1=0相交的弦長為.求圓方程. 分析: 研究圓的問題.既要理解代數(shù)方法.熟練運用解方程思想.又要重視幾何性質(zhì)及定義的運用.以降低運算量.總之.要數(shù)形結(jié)合.拓寬解題思路. (1)法一:從數(shù)的角度 若選用標準式:設(shè)圓心P(x.y).則由|PA|=|PB|得:(x0-5)2+(y0-2)2=(x0-3)2+(y0-2)2 又2x0-y0-3=0 兩方程聯(lián)立得:.|PA|= ∴ 圓標準方程為(x-4)2+(y-5)2=10 若選用一般式:設(shè)圓方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.則圓心() ∴ 解之得: 法二:從形的角度 AB為圓的弦.由平幾知識知.圓心P應在AB中垂線x=4上.則由得圓心P(4.5) ∴ 半徑r=|PA|= 顯然.充分利用平幾知識明顯降低了計算量 (2)設(shè)A關(guān)于直線x+2y=0的對稱點為A’ 由已知AA’為圓的弦 ∴ AA’對稱軸x+2y=0過圓心 設(shè)圓心P.半徑為R 則R=|PA|=2+(a-3)2 又弦長. ∴ ∴ 4(a+1)2+(a-3)2=2+ ∴ a=-7或a=-3 當a=-7時.R=,當a=-3時.R= ∴ 所求圓方程為(x-6)2+(y+3)2=52或2+(y+7)2=244 例4.已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一個圓.求圓半徑r取值范圍,(3)求圓心軌跡方程. 分析: ]2+[2(1-4m2)]2-4(16m4+9)>0.即7m2-6m-1<0 ∴ (3)半徑r= ∵ ∴ 時. ∴ 0<r≤ .則 消去m得:y=4(x-3)2-1 又 ∴ ∴ 所求軌跡方程為(x-3)2=(y+1)() 例5.如圖.過圓O:x2+y2=4與y軸正半軸交點A作此圓的切線l.M為l上任一點.過M作圓O的另一條切線.切點為Q.求△MAQ垂心P的軌跡方程. 分析: 從尋找點P滿足的幾何條件著手.著眼于平幾知識的運用. 連OQ.則由OQ⊥MQ.AP⊥MQ得OQ∥AP 同理.OA∥PQ 又OA=OQ ∴ OAPQ為菱形 ∴ |PA|=|OA|=2 設(shè)P(x.y).Q(x0.y0).則 又x02+y02=4 ∴ x2+(y-2)2=4 評注:一般說來.當涉及到圓的切線時.總考慮過焦點的弦與切線的垂直關(guān)系,涉及到圓的弦時.常取弦的中點.考慮圓心.弦的中點.弦的端點組成的直角三角形. 同步練習 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知定點P（6，4）與定直線l1：y=4x，過P點的直線l與l­1交于第一象限Q點，與x軸正半軸交于點M，求使△OQM面積最小的直線l方程。

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已知定點P（2，1），分別在y=x及x軸上各取一點B與C，使△BPC的周長最小，則周長的最小值為
10
10
．

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已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），k（A）表示ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個數(shù)．
（1）已知集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分別求k（P）和k（Q）；
（2）若集合A={2，4，8，…，2n}，證明：k(A)=
n(n-1)2
；
（3）求k（A）的最小值．

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例1．已知等差數(shù)列{an}的第p項為r，第q項為S，（P≠q，r≠s）；等差數(shù)列{bn}的第r項為p，第s項為q，試問這兩個數(shù)列的公差有何關(guān)系？證明你的結(jié)論．

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已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示ai+aj（1≤i＜j≤n）的所有不同值的個數(shù)．
（1）已知集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}分別求l（P），l（Q）；
（2）求l（A）的最小值．

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