Question

已知定點P（6，4）與定直線l₁：y=4x，過P點的直線l與l­₁交于第一象限Q點，與x軸正半軸交于點M，求使△OQM面積最小的直線l方程。

Answer 1

命題意圖直線l是過點P的旋轉(zhuǎn)直線，本題主要考查如何選參數(shù)，是選其斜率k作為參數(shù)，還是選擇點Q（還是M）作為參數(shù)是本題關(guān)鍵。

知識依托 兩點連線的斜率公式，直線的方程，三角形的面積，基本不等式

錯解分析本題的關(guān)鍵是選準(zhǔn)參數(shù)，如果選k作為參數(shù)，運算量稍大，會把問題變得復(fù)雜起來

技巧與方法選用點做參數(shù)，靈活運用直線方程及面積公式

解：設(shè)Q（x₀，4x₀），M（m，0）

∵ Q，P，M共線 ∴ k_PQ=k_PM ∴

解之得：

∵ x₀>0，m>0 ∴ x₀-1>0

∴

令x₀-1=t，則t>0   ≥40

當(dāng)且僅當(dāng)t=1，x₀=11時，等號成立  ，此時Q（11，44），直線l：x+y-10=0

評注：本題通過引入?yún)��?shù)，建立了關(guān)于目標(biāo)函數(shù)S_△OQM的函數(shù)關(guān)系式，再由基本不等式再此目標(biāo)函數(shù)的最值。要學(xué)會選擇適當(dāng)參數(shù)，在解析幾何中，斜率k，截距b，角度θ，點的坐標(biāo)都是常用參數(shù)，特別是點參數(shù)。