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第二節(jié)  矩形、菱形、正方形

 

【回顧與思考】

【例題經(jīng)典】

 

會用“階梯型”思路判定特殊平行四邊形

例1．（2005年黃岡市）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于點E，又點F在DE的延長線上，且AF=CE．求證：四邊形ACEF為菱形．

    【分析】欲證四邊形ACEF為菱形，可先證四邊形ACEF為平行四邊形，然后再證ACEF為菱形，當然，也可證四條邊相等，直接證四邊形為菱形．

 

矩形、菱形的綜合應(yīng)用

例2．（2006年青島市）如圖，在ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，AG∥DB交CB的延長線于G．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

    【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形

    ∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD．

    ∵點E、F分別是AB、CD的中點，

    ∴AE=AB，CF=CD．

    ∴AE=CF．

    ∴△ADE≌△CBF．

    （2）當四邊形BEDF是菱形時，四邊形AGBD是矩形．

    ∵四邊形ABCD是平行四邊形，

    ∴AD∥BC．

    ∵AG∥BD，

    ∴四邊形AGBD是平行四邊形．

    ∵四邊形BEDF是菱形，

    ∴DE=BE．

    ∵AE=BE，

    ∴AE=BE=DE．

    ∴∠1=∠2，∠3=∠4．

    ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

    ∴2∠2+2∠3=180°．

    ∴∠2+∠3=90°．

    即∠ADB=90°，

    ∴四邊形AGBD是矩形．

 

會解決與特殊平行四邊形有關(guān)的動手操作問題

例3．（2005年吉林�。┤鐖D，在矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折疊后，點C落在AB邊上的點P處，點D落在點Q處，AD與PQ相交于點H，∠BPE=30°．

  （1）求BE、QF的長．（2）求四邊形PEFH的面積．

    【分析】折疊型試題是近年中考試題的熱點，要想解好此類題，考生必須有想像力，抓住折疊的角與邊不發(fā)生變化，必要時需要考生剪一個四邊形實際折疊一下幫助理解．

 

【考點精練】

一、基礎(chǔ)訓練

1．如圖1，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面積為________．

試題詳情

2．（2006年黃岡市）如圖2,將邊長為8cm的正方形ABCD的四邊沿直線L向右滾動（不滑動），當正方形滾動兩周時，正方形的頂點A所經(jīng)過的路線的長是________cm．

試題詳情

           

         (1)                     (2)                           (3)

試題詳情

3．用兩個全等的直角三角形拼下列圖形：①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等邊三角形；一定可以拼成的是________（只填序號）．

試題詳情

4．如圖3，點E、F是菱形ABCD的邊BC、CD上的點，請你添加一個條件（不得另外添加輔助線和字母），使AE=AF，你添加的條件是________．

試題詳情

5．（2006年煙臺市）如圖4,先將一矩形ABCD置于直角坐標系中，使點A與坐標系的原點重合，邊AB、AD分別落在x軸、y軸上（如圖①所示），再將此矩形在坐標平面內(nèi)按逆時針方向繞原點旋轉(zhuǎn)30°（如圖②所示），若AB=4，BC=3，則圖①和圖②中，點B的坐標為_________，點C的坐標為________．

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    ①            
    ②
                   
(4)                            
                  
(4)                            
(5)                
(6)
    

    試題詳情
    

    6．（2006年廣安市）正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（  ）
        A．對角線相等          
　　　　B．對角線互相垂直平分
        C．對角線平分一組對角   　　　　D．四條邊相等
    

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    7．如圖5，在菱形ABCD中，E、F分別是AB，AC的中點，如果EF=2，那么菱形ABCD的周長是（  ）
        A．4      B．8      C．12     D．16
    

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    8．（2006年江陰市）已知如圖6，則不含陰影部分的矩形的個數(shù)是（  ）
        A．15      B．24      C．25       D．16
    

    試題詳情
    

    9．（2006年濰坊市）如圖7，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°到正方形AB′C′D′，圖中陰影部分的面積為（  ）
    

    試題詳情
    

    A．        B．       C．1-    D．1-
    

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(7)                            
(8)
    

    試題詳情
    

    10．（2006年淄博市）將一矩形紙片按如圖8方式折疊，BC、BD為折痕，折疊后A′B與E′B在同一條直線上，則∠CBD的度數(shù)（ 
）
        A．大于90°     B．等于90°     C．小于90°     D．不能確定
     
    

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    二、能力提升
    11．如圖，矩形ABCD中，M是AD的中點．
      （1）求證：△ABM≌△DCM；
    （2）請你探索，當矩形ABCD的一組鄰邊滿足何種數(shù)量關(guān)系時，有BM⊥CM成立，說明你的理由．
    

    試題詳情
    

     
     
     
     
     
    

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    12．（2006年泉州市）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是BC、AD上的點，且BE=DF．
    求證：△ABE≌△CDF．
    

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    13．（2006年滬州市）如圖，在矩形ABCD中，點E是BC上一點，AE=AD，DF⊥AE，垂足為F．線段DF與圖中哪一條線段相等？先將你的猜想出的結(jié)論填寫在下面的橫線上，然后再加以證明．
    即DF=________．（寫出一線段即可）
    

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    14．已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于E、F，求證：四邊形AFCE是菱形．
    

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    三、應(yīng)用與探究
    15．（2006年河南�。┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．D是BC邊上一點，直線DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直線DF于F．設(shè)CD=x．
        （1）當x取何值時，四邊形EACF是菱形？請說明理由；
        （2）當x取何值時，四邊形EACD的面積等于2？
    

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    答案：
    例題經(jīng)典 
    

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    例3．（1）BE=2，QF=1  （2）7
    考點精練  
    

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    1．96  2．16+16  3．①②⑤  
    

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    4．∠BAE=∠DAF（答案不唯一）  
    

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    5．B（4，0），（2，2），C（4，3），（）  
    

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    6．A  7．D  8．C  9．C  10．B  
    

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    11．（1）略  （2）AB=AD時，BM⊥CM  
    

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    12．根據(jù)SAS證△ABE≌△CDF  
    

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    13．DF=DC．證略  
    

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    14．證△AOE≌△COF．即得AEFC．四邊形AFCE是平行四邊形．
    又AC⊥EF，∴四邊形AFCE是菱形 

    

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    15．解：（1）∵∠ACB=90°，
    ∴AC⊥BC．又∵DE⊥BC，∴EF∥AC．
    又∵AE∥CF，∴四邊形EACF是平行四邊形．
    當CF=AC時，四邊形ACFE是菱形．
    

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    此時，CF=AC=2，BD=3-x，tan∠B=，ED=BD?tan∠B=（3-x），
    

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    ∴DF=EF-ED=2-（3-x）=x．
    在Rt△CDF中，CD2+DF2=CF2，
    

    試題詳情
    

    ∴x2+（x）2=22，∴x=±（負值不合題意，舍去），
    

    試題詳情
    

    即當x=時，四邊形ACFE是菱形  
    

    試題詳情
    

    

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    （2）由已知得，四邊形EACD是直角梯形，S梯形EACD=×（4-x）?x=-x2+2x．
    

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    依題意，得-x2+2x=2，整理得，x2-6x+6=0．解之，得x1=3-，x2=3+．
    

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    ∵x=3+>BC=3，
    

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    ∴x=3+舍去，
    

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    ∴當x=3-時，梯形EACD的面積等于2．
     
     
    

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