Question

5．如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)．水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道MNP，其形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離也是R．用質(zhì)量m₁=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后彈簧恢復(fù)原長時(shí)物塊恰停止在B點(diǎn)．用同種材料、質(zhì)量為m₂=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)釋放，物塊通過B點(diǎn)后，從B到D的過程中做勻減速直線運(yùn)動，如果從過B點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，其離開B點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系為x=6t-2t²．物塊飛離桌面后由P點(diǎn)沿切線落入圓軌道．g=10m/s²，求：
（1）物塊通過P的速度的大小；
（2））BP間的水平距離；
（3）彈簧被壓縮到C點(diǎn)時(shí)具有的彈性勢能；
（4）從C點(diǎn)釋放m₂后，m₂在運(yùn)動過程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）由物塊過B點(diǎn)后其位移與時(shí)間的關(guān)系求出初速度和加速度，根據(jù)牛頓第二定律即可求得與桌面間的滑動摩擦因數(shù)．
（2）物塊由D點(diǎn)做平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的基本公式求出到達(dá)D點(diǎn)的速度和水平方向的位移，根據(jù)物塊過B點(diǎn)后其位移與時(shí)間的關(guān)系得出初速度和加速度，進(jìn)而根據(jù)位移-速度公式求出位移；

解答 解：（1）由物塊過B點(diǎn)后其位移與時(shí)間的關(guān)系s=6t-2t²得與s=v₀t+$\frac{1}{2}$at²：
v₀=6m/s
加速度a=4m/s²
而μm₂g=m₂a 得μ=0.4
落到P點(diǎn)時(shí)其豎直速度為v_y=$\sqrt{2gR}$=4m/s
根據(jù)幾何關(guān)系有：v_p=4$\sqrt{2}$m/s
v_D=4m/s
（2）運(yùn)動時(shí)間為：t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}$=0.4s
所以DP的水平位移為：4×0.4m=1.6m
所以BD間位移為 s_BD=$\frac{{{v}_{D}}^{2}-{{v}_{0}}^{2}}{2a}$
帶入數(shù)據(jù)得：s_BD=2.5m
所以BP間位移為2.5+1.6m=4.1m
（3）設(shè)彈簧長為AC時(shí)的彈性勢能為E_P，物塊與桌面間的動摩擦因數(shù)為μ，
釋放m₁時(shí)，E_P=μm₁gs_CB
釋放m₂時(shí)E_P=μm₂gs_BC+$\frac{1}{2}$m₂v₀²
且m₁=2m₂，
可得：E_P=m₂v₀²
帶入數(shù)據(jù)得：E_P=7.2J
（4）m₂釋放后在桌面上運(yùn)動過程中克服摩擦力做功為W_f，
則由能量轉(zhuǎn)化及守恒定律得：
E_P=W_f+$\frac{1}{2}$m₂v_D²
可得W_f=5.6J
答：（1）物塊通過P的速度的大小4$\sqrt{2}$m/s；
（2））BP間的水平距離4.1m；
（3）彈簧被壓縮到C點(diǎn)時(shí)具有的彈性勢能7.2J；
（4）從C點(diǎn)釋放m₂后，m₂在運(yùn)動過程中克服摩擦力做的功5.6J．

點(diǎn)評 該題涉及到多個(gè)運(yùn)動過程，主要考查了機(jī)械能守恒定律、平拋運(yùn)動基本公式、圓周運(yùn)動向心力公式的應(yīng)用，用到的知識點(diǎn)及公式較多，難度較大，屬于難題．