Question

5．如圖1所示，固定的平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ，與水平面的夾角為30°；兩導(dǎo)軌間的距離為L(zhǎng)=1m，電阻不計(jì)，導(dǎo)軌下端連接一固定電阻R=0.4Ω，上面橫放一導(dǎo)體棒ab，距離下端d=6m，與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，其質(zhì)量m=0.1kg，電阻r=0.2Ω，與導(dǎo)線(xiàn)構(gòu)成閉合回路．導(dǎo)軌處在垂直于導(dǎo)軌平面且向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的關(guān)系如圖2所示，其中B₁=0.6T，在t=0時(shí)刻及t₀時(shí)刻棒ab均恰不滑動(dòng)，且在此過(guò)程中棒ab靜止，t＞t₀之后，導(dǎo)體棒ab將在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，并能達(dá)到最大的穩(wěn)定速度，假設(shè)滑動(dòng)摩擦力等于最大靜摩擦力，g取10m/s²．結(jié)果都保留兩位有效數(shù)字，求：

（1）從t=0開(kāi)始計(jì)時(shí)，導(dǎo)體棒ab靜止在導(dǎo)軌上的時(shí)間t₀的數(shù)值；
（2）導(dǎo)體棒ab從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，到剛達(dá)到底邊MP過(guò)程中，電阻R產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）在t=0-t₀時(shí)間內(nèi)棒ab不滑動(dòng)，受力平衡，列出平衡方程．在t=t₀，導(dǎo)體棒剛好要下滑，靜摩擦力達(dá)到最大值，列出平衡方程．由法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律求出該時(shí)刻的電流，聯(lián)立解得t₀的數(shù)值；
（2）導(dǎo)體棒ab從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，先作加速運(yùn)動(dòng)，穩(wěn)定時(shí)作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，受力平衡，根據(jù)平衡條件和安培力公式列式，求解最大速度．由焦耳定律求出R上產(chǎn)生的焦耳熱Q．

解答 解：（1）在0-t₀時(shí)間內(nèi)，設(shè)回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為E，感應(yīng)電流為I．
在t=0，導(dǎo)體棒剛好要上滑：BIL=mgsin°+f…①
在t=t₀，導(dǎo)體棒剛好要下滑：B₂IL+f=mgsin30°…②
f=μmgcos30°…③
由法拉第電磁感應(yīng)定律得：${E_1}=\frac{△ϕ}{△t}=Ld\frac{{{B_1}-{B_2}}}{t_0}$…④
根據(jù)閉合電路的歐姆定律：$I=\frac{E}{R+r}$…⑤
聯(lián)立解得：t₀=3.2s…⑥
 （2）t₀以后，由①②兩式可得B₂=0.2T，導(dǎo)體棒ab從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，達(dá)到最大穩(wěn)定速度v_m時(shí)，有：E₁=B₂Lv_m…⑦
由平衡條件得：F+f=mgsin30°…⑧
又據(jù)安培力為：F=B₂IL=$\frac{{B}_{2}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$…⑨
導(dǎo)體棒ab從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，到剛達(dá)到底邊MP過(guò)程中，設(shè)整個(gè)回路中的產(chǎn)生的焦耳熱為Q，由能量守恒得：
 mgdsin30°-fd=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$+Q…⑩
根據(jù)電阻功率的分配可得：${Q_k}=\frac{R}{R+r}Q$…⑪
聯(lián)立解得：Q_R=0.53J…⑫
答：（1）從t=0開(kāi)始計(jì)時(shí)，導(dǎo)體棒ab靜止在導(dǎo)軌上的時(shí)間t₀的數(shù)值是3.2s；
（2）導(dǎo)體棒ab從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，到剛達(dá)到底邊MP過(guò)程中，電阻R產(chǎn)生的焦耳熱是0.53J．

點(diǎn)評(píng) 本題中先產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)，要會(huì)運(yùn)用法拉第定律求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)．導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)后，產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，由E=BLv求解感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)．