Question

如圖所示，在邊界AOB的上側分布著方向垂直于紙面的勻強磁場，OE是磁場區(qū)域的對稱軸．邊界外有關于OE對稱的C、D兩點，現(xiàn)有兩個比荷均為

q

m

的正離子同時從C點射出，分別通過M、N點同時進入磁場．已知經(jīng)過M點的離子速度大小為v₀，CM垂直磁場邊界于M，M與O點間的距離為d，若使兩離子都能到達點D；
（1）求磁感應強度的大小和方向；
（2）設CM與CN間夾角為θ，求兩離子先后到達D點的時間差△t；
（3）設CM長度為h，求邊界AO與BO間的夾角α．

Answer 1

分析：（1）粒子進入磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)幾何知識確定軌跡半徑，由牛頓第二定律求出磁感應強度的大小，由左手定則判斷方向．
（2）根據(jù)幾何知識確定出兩個離子軌跡對應的圓心角θ，由公式t=

θ

2π

T求出它們的運動時間，即可求解時間差．
（3）兩離子在磁場外運動時間相同，根據(jù)幾何關系求解邊界AO與BO間的夾角α．

解答：解：（1）設沿CM方向運動的離子在磁場中做圓周運動的軌道半徑為R，則根據(jù)幾何關系得：R=d
粒子進入磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，則有
  qv₀B=m

v 2 0

R

，得：B=

mv0

qd

．
由左手定則判斷可知，磁場方向垂直紙面向外．
（2）時間差是在磁場中運動產(chǎn)生的，兩離子在磁場中做勻速圓周運動的周期為T=

2πm

Bq

=

2πd

v0

，
設AO、BO夾角為α，分別通過M、N兩點的正離子在磁場中的時間分別為t_M、t_N，
根據(jù)粒子速度的偏向角等于軌跡對應的圓心角，可得：
 t_M=

α

2π

T=

α

2π

?

2πd

v0

=

αd

v0

 t_N=

α+2θ

2π

T=

α+2θ

2π

?

2πd

v0

=

(α+2θ)d

v0

兩離子先后到達D點的時間差△t=t_N-t_M=

2dθ

v0

（3）設沿CN運動的離子速度大小為v，在磁場中的軌道半徑為R′，兩離子在磁場外運動時間相同，
即：vcosθ=v₀，R′=

mv

qB

=

d

cosθ

由幾何關系得：MN=htanθ；
 

MN+d

sin( α 2 +θ)

=

R

sin α 2

解得：α=2arctan

d

h

答：（1）磁感應強度的大小為

mv0

qd

，磁場方向垂直紙面向外．（2）兩離子先后到達D點的時間差△t為

2dθ

v0

；（3）邊界AO與BO間的夾角α為2arctan

d

h

．

點評：本題畫出粒子運動軌跡，由幾何知識求出軌跡半徑是關鍵；