Question

3．如圖所示，AB、CD、PS、MN各邊界相互平行，OO′垂直邊界且與PS和MN分別相交于G和O′點(diǎn)，AB、CD、CD、PS和PS、MN的間距分別為2L、3L和$\frac{9}{4}$L．AB、CD間存在平行邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)，CD、PS間無(wú)電場(chǎng)，PS、MN間存在固定在O′點(diǎn)的負(fù)點(diǎn)電荷Q形成的電場(chǎng)區(qū)域．帶正電的粒子以初速度v₀從O點(diǎn)沿直線OO′飛入電場(chǎng)，粒子飛出AB、CD間的電場(chǎng)后經(jīng)過(guò)CD、PS間的無(wú)電場(chǎng)區(qū)域后，進(jìn)入PS、MN間，最后打在MN上．已知?jiǎng)驈?qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E與粒子質(zhì)量m、電荷量q的關(guān)系為E=$\frac{3mv_0^3}{8qL}$，負(fù)點(diǎn)電荷的電荷量Q=-$\frac{{125E{L^2}}}{8k}$（k為靜電
力常數(shù)），PS、MN間的電場(chǎng)分布不受邊界的影響，不計(jì)粒子的重力，求：
（1）粒子到達(dá)PS界面時(shí)的速度和偏轉(zhuǎn)的距離；
（2）粒子到達(dá)MN上時(shí)與O′點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，抓住等時(shí)性求出粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度，即到達(dá)PS面的速度，在場(chǎng)區(qū)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)位移以及在無(wú)場(chǎng)區(qū)豎直方向上的位移求出偏轉(zhuǎn)距離．
（2）帶電粒子到達(dá)PS界面處F點(diǎn)的速度與OO′成θ角，設(shè)O′F與OO′的夾角為φ，抓住粒子受庫(kù)侖引力提供向心力，根據(jù)幾何關(guān)系，通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑求出粒子到達(dá)MN時(shí)與O′距離．

解答 解：（1）粒子穿過(guò)界面CD時(shí)偏轉(zhuǎn)的距離為y，
y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
2L=v₀t，
加速度a=$\frac{qE}{m}$，
則粒子穿過(guò)界面CD時(shí)沿電場(chǎng)方向的速度：v_y=at，
粒子穿過(guò)界面CD時(shí)速度方向與OO′成θ角，則tan$θ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，
代入數(shù)據(jù)解得tanθ=$\frac{3}{4}$，
速度的大小v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$，代入數(shù)據(jù)解得$v=\frac{5}{4}{v}_{0}$，
帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)后在CD、PS間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)PS時(shí)速度與CD時(shí)相同，設(shè)在PS間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t′，其軌跡與PS邊界交于F，設(shè)F到G的距離為Y，
3L=v₀t′，Y=y+v_yt′，
解得Y=3L．
（2）帶電粒子到達(dá)PS界面處F點(diǎn)的速度與OO′成θ角，設(shè)O′F與OO′的夾角為φ，
tanφ=$\frac{Y}{GO′}=\frac{4}{3}$，
θ+φ=90°，可知v與O′F垂直．
O′F=$\sqrt{{Y}^{2}+GO{′}^{2}}=\frac{15}{4}L$，
粒子在F點(diǎn)受到的靜電力為${F}_{電}=k\frac{qQ}{O′{F}^{2}}$，
粒子繞A做圓轉(zhuǎn)運(yùn)到需要的向心力為：${F}_{向}=m\frac{{v}^{2}}{O′F}={F}_{電}$，
所以粒子繞O′點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子到達(dá)MN時(shí)與O′距離為Y′，
$Y′=O′F=\frac{15}{4}L$．
答：（1）粒子到達(dá)PS界面時(shí)的速度和偏轉(zhuǎn)的距離為3L；
（2）粒子到達(dá)MN上時(shí)與O′點(diǎn)的距離為$\frac{15}{4}L$．

點(diǎn)評(píng) 本題是類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，分析粒子的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況是基礎(chǔ)．難點(diǎn)是運(yùn)用幾何知識(shí)研究圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．