Question

2010年上海世博會(huì)某國(guó)家館內(nèi)，有一“發(fā)電”地板，利用游人走過(guò)此處，踩踏地板發(fā)電．其原因是地板下有一發(fā)電裝置，如圖甲所示，裝置的主要結(jié)構(gòu)是一個(gè)截面半徑為r、匝數(shù)為n的線(xiàn)圈，緊固在與地板相連的塑料圓筒P上．磁場(chǎng)的磁感線(xiàn)沿半徑方向均勻分布，圖乙為橫截面俯視圖．輕質(zhì)地板四角各連接有一個(gè)勁度系數(shù)為k的復(fù)位彈簧(圖中只畫(huà)出其中的兩個(gè))．當(dāng)?shù)匕迳舷峦�返運(yùn)動(dòng)時(shí)，便能發(fā)電．若線(xiàn)圈所在位置磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，線(xiàn)圈的總電阻為R₀，現(xiàn)用它向一個(gè)電阻為R的小燈泡供電．為了便于研究，將某人走過(guò)時(shí)地板發(fā)生的位移－時(shí)間變化的規(guī)律簡(jiǎn)化為圖丙所示．(取地板初始位置x＝0，豎直向下為位移的正方向，且彈簧始終處在彈性限度內(nèi)．)

(1)取圖乙中順時(shí)針?lè)较螂娏鳛檎�方向，�?qǐng)?jiān)趫D丁所示坐標(biāo)系中畫(huà)出線(xiàn)圈中感應(yīng)電流i隨時(shí)間t變化的圖線(xiàn)，并標(biāo)明相應(yīng)縱坐標(biāo)．要求寫(xiě)出相關(guān)的計(jì)算和判斷過(guò)程；

(2)t＝t₀/2時(shí)地板受到的壓力；

(3)求人踩踏一次地板所做的功．

Answer 1

 (1)0～t₀時(shí)間，地板向下做勻速運(yùn)動(dòng)，其速度v＝x₀/t₀，線(xiàn)圈切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e＝nB·2πrv＝2nBπrx₀/t₀，感應(yīng)電流i＝e/R＝2nBπrx₀/Rt₀；t₀～2t₀時(shí)間，地板向上做勻速運(yùn)動(dòng)，其速度v＝x₀/t₀，線(xiàn)圈切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

e＝－nB·2πrv＝－2nBπrx₀/t₀，感應(yīng)電流i＝e/R＝－2nBπrx₀/Rt₀；

(2)t＝t₀/2時(shí)，地板向下位移x₀/2，彈簧彈力kx₀/2，安培力F_安＝nBi2πr＝2nBiπr，由平衡條件可知，地板受到的壓力F＝2kx₀＋

(3)由功能關(guān)系可得人踩踏一次地板所做的功W＝2i²Rt₀＝.

答案：(1)見(jiàn)解析　(2)2kx₀＋

(3)