Question

．（19分）如圖，在區(qū)域I（0≤x≤d）和區(qū)域II（d<x≤2d）內(nèi)分別存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面。一質(zhì)量為m、帶電荷量q（q＞0）的粒子a于某時(shí)刻從y軸上的P點(diǎn)射入?yún)^(qū)域I，其速度方向沿x軸正向。已知a在離開(kāi)區(qū)域I時(shí)，速度方向與x軸正方向的夾角為30°；此時(shí)，另一質(zhì)量和電荷量均與a相同的粒子b也從P點(diǎn)沿x軸正向射入?yún)^(qū)域I，其速度大小是a的1/3。不計(jì)重力和兩粒子之間的相互作用力。求

⑴粒子a射入?yún)^(qū)域I時(shí)速度的大��；

⑵當(dāng)a離開(kāi)區(qū)域II時(shí)，a、b兩粒子的y坐標(biāo)之差。

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】（1）設(shè)粒子a 在I 內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為C（在y軸上），半徑為R_a1，粒子速率為v_a，運(yùn)動(dòng)軌跡與兩磁場(chǎng)區(qū)域邊界的交點(diǎn)為P′，如圖，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得

    ①

由幾何關(guān)系得      ②

       ③

式中，，由①②③式得      ④

（2）設(shè)粒子a在II內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為Oa,半徑為R_a1 ，射出點(diǎn)為P_a（圖中未畫(huà)出軌跡），。由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得

          ⑤

由①⑤式得       ⑥

C、P^/和O_a三點(diǎn)共線，且由⑥式知Oa點(diǎn)必位于⑦ 的平面上。由對(duì)稱(chēng)性知，Pa點(diǎn)與P^/點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，即      ⑧   式中，h是C點(diǎn)的y坐標(biāo)。

設(shè)b在I中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R_b1 ，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得     ⑨

設(shè)a到達(dá)P_a點(diǎn)時(shí)，b位于P_b點(diǎn)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為α。如果b沒(méi)有飛出I，則

     ⑩        ⑪

式中，t 是a 在區(qū)域II 中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，而

    ⑫           ⑬

由⑤⑨⑩111213式得α=30⁰       ⑭

由①③⑨14式可見(jiàn)，b沒(méi)有飛出。P_b點(diǎn)的y坐標(biāo)為     ⑮

由①③⑧⑨1415式及題給條件得，a、b 兩粒子的y 坐標(biāo)之差為

        ⑯