Question

18．“嫦娥四號”被專家稱為“四號星”，計劃在2017年發(fā)射升空，它是嫦娥探月工程計劃中嫦娥系列的第四顆人造繞月衛(wèi)星，主要任務是更深層次、更加全面地科學探測月球地貌、資源等方面的信息，完善月球檔案資料．已知月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，月球的平均密度為ρ．嫦娥四號離月球中心的距離為r，繞月周期為T．根據(jù)以上信息可以判斷下列說法正確的是（　�。�

• A． 月球的第一宇宙速度為$\sqrt{gr}$
• B． “嫦娥四號”繞月運行的速度為$\sqrt{\frac{g{r}^{2}}{R}}$
• C． 引力常量可表示為$\frac{3π{r}^{3}}{ρ{T}^{2}{R}^{3}}$
• D． 假設地球上沒有空氣阻力，若從地球上發(fā)射“嫦娥四號”，必須達到第二宇宙速度才有可能發(fā)射成功

Answer 1

分析 1、根據(jù)重力提供向心力$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，得月球的第一宇宙速度為$v=\sqrt{gR}$．
2、根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，月球表面的物體受到的重力等于萬有引力$mg=\frac{GMm}{{R}^{2}}$，得GM=R²g．二式化簡可得衛(wèi)星速度．
3、根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得月球的質(zhì)量$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，解得月球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，變形可得萬有引力常量．
4、第二宇宙速度是飛行器脫離地球的吸引力需要的速度．

解答 解：A、月球的第一宇宙速度為近月衛(wèi)星的運行速度，所以重力提供向心力$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，得$v=\sqrt{gR}$．故A錯誤．
B、根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，又因為月球表面的物體受到的重力等于萬有引力$mg=\frac{GMm}{{R}^{2}}$，得GM=R²g．
所以$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$，故B錯誤．
C、根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得月球的質(zhì)量$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，所以月球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，所以萬有引力常量為$G=\frac{3π{r}^{3}}{ρ{T}^{2}{R}^{3}}$．故C正確．
D、第二宇宙速度是飛行器脫離地球的吸引力需要的速度，所以從地球上發(fā)射“嫦娥四號”，不能達到第二宇宙速度就可能發(fā)射成功．故D錯誤．
故選：C

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，會根據(jù)該規(guī)律計算線速度和中心天體的質(zhì)量．