Question

6．無(wú)線充電可以讓手機(jī)充電是擺脫電源線的束縛．某種無(wú)線充電原理是：首先通過(guò)一個(gè)安置在墻 面插座上的電流轉(zhuǎn)化器，將電能轉(zhuǎn)化為超聲波；讓用電設(shè)備上的接收器捕獲超聲波訊號(hào)，將其在轉(zhuǎn)化回電能為設(shè)備充電．接收器單位面積上接收到的超聲波功率與接收器和電流轉(zhuǎn)化器之間距離s的平方成反比，其將超聲波轉(zhuǎn)化為電能的轉(zhuǎn)化效率為η₁．原理圖如圖所示． 
某實(shí)驗(yàn)電動(dòng)小汽車(chē)質(zhì)量為m，其電池將電能轉(zhuǎn)為機(jī)械能的效率為η₂．某次實(shí)驗(yàn)用該裝置給其充電，接收器和電流轉(zhuǎn)換器間距離為s₀，充電時(shí)間為t₀，此時(shí)電池剛好充滿電．充好電后啟動(dòng)小汽車(chē)，小汽車(chē)經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的距離（電能已耗盡）后進(jìn)入一半徑為R的豎直放置的圓形軌道，安裝在軌道最高點(diǎn)的力傳感器顯示所受壓力大小恰為小車(chē)重力大�。�不計(jì)一切摩擦，小車(chē)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可視為質(zhì)點(diǎn)，電池在充滿電后會(huì)自動(dòng)停止充電，已知重力加速度為g．請(qǐng)求出：

（1）電動(dòng)小車(chē)在最高點(diǎn)的速度大小v；
（2）此次實(shí)驗(yàn)中接收器接受到的超聲波的功率P；
（3）若小車(chē)不脫離軌道，充電時(shí)間t與接收器和電流轉(zhuǎn)換器間距離，應(yīng)滿足什么關(guān)系？

Answer 1

分析 （1）電動(dòng)小車(chē)在最高點(diǎn)受重力和支持力，合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解即可；
（2）根據(jù)機(jī)械能定義求解出小車(chē)的機(jī)械能，根據(jù)能量守恒定律列式求解接收器接受到的超聲波的功率P；
（3）小車(chē)不脫離軌道，有兩種可能：做完整的圓周運(yùn)動(dòng)或者未到高度R而原路返回；根據(jù)能量守恒定律列式分析即可．

解答 解：（1）在最高點(diǎn)：mg+F_N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，又F_N=mg
解得：v=$\sqrt{2gR}$
（2）設(shè)小車(chē)在水平軌道上的動(dòng)能為E_k，從水平軌道到最高點(diǎn)滿足機(jī)械能守恒，即
E_k=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：E_k=3mgR
又電動(dòng)小車(chē)的電池將電能耗盡，部分轉(zhuǎn)化為小車(chē)的機(jī)械能，即
E_k=Pt₀η₁η₂
故可得：
P=$\frac{3mgR}{{η}_{1}{η}_{2}{t}_{0}}$
（3）若不脫離軌道，則小車(chē)可能有兩種情況：1）做完整的圓周運(yùn)動(dòng)；2）未到高度 R 即原路返回．
1）做完整的圓周運(yùn)動(dòng)
若恰好達(dá)到軌道最高點(diǎn)，則
$mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$?
從水平軌道到最高點(diǎn)滿足機(jī)械能守恒
${E}_{k1}=mg（2R）+\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
又E_k1=P₁tη₁η₂
由以上各式可得：
$\frac{{E}_{k}}{{E}_{k1}}=\frac{P{t}_{0}}{{P}_{1}t}=\frac{3mgR}{2.5mgR}$，又$\frac{P}{{P}_{1}}=\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}$
故$t=\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}$，
即此時(shí)恰到達(dá)最高點(diǎn)，故能通過(guò)最高點(diǎn)的條件是$t≥\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}$；
考慮到電池可能充滿電，P₁t≤Pt₀，又$\frac{P}{{P}_{1}}=\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}$，
可得t≤$\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$
綜上，若做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)滿足：$\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}{t}_{0}≥t≥\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}$
2）未到高度 R 即原路返回
若恰好上升高度為 R，則E_k2=mgR，又E_k2=P₂tη₁η₂
由以上各式可得：$\frac{{E}_{k}}{{E}_{k2}}=\frac{P{t}_{0}}{{P}_{2}t}=\frac{3mgR}{mgR}$，又$\frac{P}{{P}_{2}}=\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}$
故$t=\frac{{s}^{2}}{3{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$，
即此時(shí)恰到上升高度 R，故此種情況下應(yīng)滿足
t≤$\frac{{s}^{2}}{3{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$．
此情況下由于E_k2=mgR＜E_k，即電池并未充滿電．
綜上，若滿足t≤$\frac{{s}^{2}}{3{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$或是$\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}{t}_{0}≥t≥\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}$，則小車(chē)不會(huì)脫離軌道．
答：（1）電動(dòng)小車(chē)在最高點(diǎn)的速度大小v為$\sqrt{2gR}$；
（2）此次實(shí)驗(yàn)中接收器接受到的超聲波的功率P為$\frac{3mgR}{{η}_{1}{η}_{2}{t}_{0}}$；
（3）若小車(chē)不脫離軌道，充電時(shí)間t與接收器和電流轉(zhuǎn)換器間距離，應(yīng)滿足t≤$\frac{{s}^{2}}{3{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$或$\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}{t}_{0}≥t≥\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}$的關(guān)系．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵明確小車(chē)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合機(jī)械能守恒定律、能量守恒定律、牛頓第二定律列式求解；第三問(wèn)要注意分完整圓周運(yùn)動(dòng)和不完整圓周運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析．