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同時(shí)滿足以下4個(gè)條件的集合記作A_k：（1）所有元素都是正整數(shù)；（2）最小元素為1；（3）最大元素為2014；（4）各個(gè)元素可以從小到大排成一個(gè)公差為k（k∈N^*）的等差數(shù)列．那么A₃₃∪A₆₁中元素的個(gè)數(shù)是（　　）

設(shè)數(shù){a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若對(duì)任意的n∈N^*，有a_n＞0且 2Sn=

a

2 n

+an成立．
（1）求a₁、a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，令Tn=

Sn

cn

，若數(shù)列{T_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=1-

1

4an

，b_n=

2

2an-1

，其中n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若數(shù)列{c_{n}}滿足：b_n=

c1

2+1

-

c2

22+1

+

c3

23+1

-

c4

24+1

+…+（-1）ⁿ

cn

2n+1

 （n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式．

已知數(shù)集A={a₁，a₂，…，a_n}（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3）具有性質(zhì)P：對(duì)?i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i與a_j-a_i兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A．
（1）分別判斷數(shù)集{0，1，3}與數(shù)集{0，2，4，6}是否具有性質(zhì)P，說(shuō)明理由；
（2）求證：a₁+a₂+…+a_n=

n

2

a_n；
（3）已知數(shù)集A={a₁，a₂…，a₈}具有性質(zhì)P．證明：數(shù)列a₁，a₂，a₈是等差數(shù)列．

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，對(duì)一切n∈N^*有a_n＞0，

a

2 n+1

-an+1=2Sn，其中S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（ I ）求a₂，a₃，a₄的值；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足bn=

1

Sn

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n的表達(dá)式．

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=3，S₅-S₂=27，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若S_n，2

2

（a_n+1+1），S_n+2成等比數(shù)列，求正整數(shù)n的值．

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2ⁿ⁺²-2，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù){a_n}滿足b_n=

Sn

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3^n-1，在等差數(shù)列數(shù)列{b_n}中，b_n＞0（n∈N^*），且b₁+b₂+b₃=15，
又a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n•b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n（n+1），正項(xiàng)數(shù)列{b_n}滿足b_n+2=

b2n+1

bn

，且b₁b₃=4，b₄=8．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)；
（2）數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_nb_n，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

設(shè)項(xiàng)數(shù)均為k（k≥2，k∈N^*）的數(shù)列{a_n}、{b_n}、{c_n}前n項(xiàng)的和分別為S_n、T_n、U_n．已知集合{a₁，a₂，…，a_k，b₁，b₂，…，b_k}={2，4，6，…，4k-2，4k}．
（1）已知Un=2n+2n，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若Sn-Tn=2n+2n（1≤n≤k，n∈N^*），試研究k=4和k≥6時(shí)是否存在符合條件的數(shù)列對(duì)（{a_n}，{b_n}），并說(shuō)明理由；
（3）若an-bn=2n  (1≤n≤k， n∈N*)，對(duì)于固定的k，求證：符合條件的數(shù)列對(duì)（{a_n}，{b_n}）有偶數(shù)對(duì)．