Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，對一切n∈N^*有a_n＞0，

a

2 n+1

-an+1=2Sn，其中S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（ I ）求a₂，a₃，a₄的值；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足bn=

1

Sn

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，求T_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（I）利用

a

2 n+1

-an+1=2Sn，n取1，2，3，即可求a₂，a₃，a₄的值；
（II）再寫一式，兩式相減，確定數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}通項公式；
（Ⅲ）確定數(shù)列{b_n}的通項，利用裂項法可求T_n的表達(dá)式．

解答：解：（I）n=1時，

a

2 2

-a2=2S1
∵a₁=1，a_n＞0，∴a₂=2
同理可得a₃=3，a₄=4；
（II）∵

a

2 n+1

-an+1=2Sn，
∴n≥2時，

a

2 n

-an=2Sn-1
兩式相減可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=a_n+1+a_n
∵a_n+1+a_n＞0，∴a_n+1-a_n=1（n≥2）
當(dāng)n=1時，也適合a_n+1-a_n=1
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴a_n=n；
（Ⅲ）由題意，Sn=

n(n+1)

2

，
∴bn=

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的判定與通項的確定，考查裂項法求數(shù)列的和，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．