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某校從參加高三年級期末統(tǒng)考測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）估計這次測試數(shù)學(xué)成績的平均分和眾數(shù)；
（Ⅱ）假設(shè)在[90，100]段的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績都不相同，且都超過94分．若將頻率視為概率，現(xiàn)用簡單隨機抽樣的方法，從95，96，97，98，99，100這6個數(shù)中任意抽取2個數(shù)，有放回地抽取了3次，記這3次抽取中，恰好是兩個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

盒子中裝有四張大小形狀均相同的卡片，卡片上分別標有數(shù)-i，i，-2，2其中i是虛數(shù)單位．稱“從盒中隨機抽取一張，記下卡片上的數(shù)后并放回”為一次試驗（設(shè)每次試驗的結(jié)果互不影響）．
（1）求事件A“在一次試驗中，得到的數(shù)為虛數(shù)”的概率P（A）與事件B“在四次試驗中，至少有兩次得到虛數(shù)”的概率P（B）；
（2）在兩次試驗中，記兩次得到的數(shù)分別為a，b，求隨機變量ξ=|a•b|的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ．

PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可吸入肺顆粒物．我國PM2.5標準采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標．某試點城市環(huán)保局從該市市區(qū)2013年上半年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機的抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如右下圖莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉）．
（1）在這15天的PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，求其中位數(shù)；
（2）從這15天的數(shù)據(jù)中任取2天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）以這15天的PM2.5日均值來估計一年的空氣質(zhì)量情況，則一年（按360天計算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達到一級或二級．

甲、乙兩名同學(xué)參加“漢字聽寫大賽”選拔測試，在相同測試條件下，兩人5次測試的成績（單位：分）如下表：

	第1次	第2次	第3次	第4次	第5次
甲	58	55	76	92	88
乙	65	82	87	85	95

（Ⅰ）請畫出甲、乙兩人成績的莖葉圖．你認為選派誰參賽更好？說明理由（不用計算）；
（Ⅱ）若從甲、乙兩人5次的成績中各隨機抽取一個成績進行分析，設(shè)抽到的兩個成績中，90分以上的個數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和期望EX．

觀察下列等式
     1=1
     2+3+4=9
   3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
…
（Ⅰ）照此規(guī)律，請你猜測出第n個等式；
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜測的等式．（其他證法不給分）

設(shè)p是質(zhì)數(shù)，且p²+71的不同正因數(shù)的個數(shù)不超過10個，求p．

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，a_n=3an-1（n≥2）．
（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：?n∈N^*，?m_n∈N，使a_n=4m_n+3；
（2）求a₂₀₁₃的末位數(shù)字．

設(shè)f（x）=lnx．
（1）若α∈（0，1），求g（x）=αlnx+（1-α）ln（1-x）最大值；
（2）已知正數(shù)α，β滿足α+β=1．求證：αf（x₁）+βf（x₂）≤f（αx₁+βx₂）；
（3）已知x_i＞0，正數(shù)α_i滿足

n

i=1

αi=1．證明：

n

i=1

αilnxi≤ln

n

i=1

αixi（其中i=1，2，…n）．

數(shù)列{a_n}中，a1=-

2

3

，其前n項和S_n滿足Sn=-

1

Sn-1+2

（n≥2），
（1）計算S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想S_n的表達式并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且Sn+an=

1

2

(n2+5n+2)（n∈N*）
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．